ZirkelschlagIm rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Dabei ist c die Hypotenuse, die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel; a und b sind die Katheten. Ist die Hypotenuse gesucht, addierst du die Quadrate. Ist sie gegeben und eine Kathete gesucht, subtrahierst du. Danach ziehst du die Wurzel.
Hypotenuse gesucht: c² = a² + b²
Kathete gesucht: a² = c² − b²
In 5 Schritten
Rechten Winkel finden
Ohne rechten Winkel gilt der Satz nicht. Oft steckt das Dreieck in einer Figur: Diagonale im Rechteck, Höhe im gleichschenkligen Dreieck, Leiter an der Wand.
Hypotenuse markieren
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Sie muss nicht c heißen, sie ist einfach die längste.
Gegeben oder gesucht?
Hypotenuse gesucht: plus. Hypotenuse gegeben: minus.
Wurzel ziehen
Nur die positive Lösung, denn eine Länge ist nie negativ. Einheit nicht vergessen.
Plausibel?
Jede Kathete ist kürzer als die Hypotenuse. Ist dein Ergebnis länger, hast du addiert statt subtrahiert.
Der typische Fehler
Auch bei gegebener Hypotenuse addieren. Im Drachen-Beispiel unten käme √(25² + 7²) = √674 ≈ 25,96 m heraus: Der Drachen wäre höher, als die Schnur lang ist. Unmöglich – also war minus gemeint.
Beispiele
Hypotenuse gesucht
Die Katheten sind 9 cm und 12 cm lang. c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, also c = √225 = 15 cm.
Hypotenuse gegeben
Ein Drachen hängt an einer gespannten Schnur von 25 m. Er steht 7 m waagerecht von der Hand entfernt. Die Schnur ist die Hypotenuse, gesucht ist die Höhe: h² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, also h = 24 m.
Probe
24 m ist kürzer als 25 m. Passt.
Ohne Taschenrechner helfen dir die Quadratzahlen bis 20² und ein paar bekannte Tripel: 3, 4, 5 und alle Vielfachen davon wie 9, 12, 15, dazu 5, 12, 13 und 8, 15, 17. Steht so ein Paar in der Aufgabe, kennst du die dritte Seite schon.
In Zirkelschlag ist „Hypotenuse gegeben → minus“ eine von Lars’ Methoden, und jede Pythagoras-Aufgabe gehst du dort Schritt für Schritt bis zur Probe durch.