ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Abstand & Mittelpunkt
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Zwei Formeln, beide aus der Differenz oder Summe der Koordinaten. Man muss nur wissen, wann welche.
Worum es geht
Zwischen A(x₁ | y₁) und B(x₂ | y₂) läuft man Δx nach rechts und Δy nach oben. Die Strecke AB ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit diesen Katheten, deshalb liefert der Satz des Pythagoras den Abstand. Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der Koordinaten.
Die Regeln
| Größe | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| Abstand | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | Differenzen, quadriert: das Vorzeichen spielt keine Rolle |
| Mittelpunkt | M((x₁ + x₂)/2 | (y₁ + y₂)/2) | Summen, halbiert |
| Endpunkt aus M | B = 2M − A, je Koordinate | von A aus noch einmal denselben Weg bis M |
| fehlende Koordinate | (x − x₁)² + (y − y₁)² = d² | meist zwei Lösungen, oberhalb und unterhalb |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: A(−2 | 5), B(4 | −3). Berechne den Abstand und den Mittelpunkt.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Differenzen | Δx = 4 − (−2) = 6; Δy = −3 − 5 = −8 | minus minus wird plus; Klammern schützen vor Vorzeichenfehlern |
| 2 · Quadrieren | 6² + (−8)² = 36 + 64 = 100 | das Quadrat macht jede Richtung positiv |
| 3 · Wurzel | d = √100 = 10 | Pythagoras: Hypotenuse aus den Katheten |
| 4 · Mittelpunkt | M((−2 + 4)/2 | (5 + (−3))/2) = M(1 | 1) | der Durchschnitt liegt genau in der Mitte |
Der typische Fehler
Den Mittelpunkt mit der Differenz berechnen. ((4 − (−2))/2 | (−3 − 5)/2) = (3 | −4). Das wirkt richtig, weil man beim Abstand gerade mit Differenzen gerechnet hat. Die halbe Differenz ist aber nur die halbe Wegstrecke, kein Punkt. Den Mittelpunkt erhält man als Durchschnitt: Summe durch 2.
So prüfst du dein Ergebnis
M liegt gleich weit von A und B entfernt. AM = √(3² + 4²) = 5 und MB = √(3² + 4²) = 5, zusammen 10 = d. Passt. Bei (3 | −4) wäre AM = √(25 + 81), deutlich mehr als BM = √(1 + 1).
Im Ratgeber: Satz des Pythagoras.