ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Satz des Pythagoras
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 59 Aufgaben
LehrplanHessen: Raum und Form – Beziehungen zwischen geometrischen Objekten · Jg. 7/8
Wie man mit dem Satz des Pythagoras eine fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck berechnet — Hypotenuse oder Kathete.
Worum es geht
Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse c; sie ist immer die längste. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten a und b. Der Satz des Pythagoras sagt: a² + b² = c². Die Flächen der Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Kennt man zwei Seiten, kann man die dritte berechnen.
Die Regeln
| Gesucht | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Hypotenuse c | c = √(a² + b²) | a = 3, b = 4: c = √25 = 5 |
| Kathete a oder b | b = √(c² − a²) | c = 13, a = 5: b = √144 = 12 |
| Diagonale im Rechteck | die Diagonale ist die Hypotenuse: d = √(l² + b²) | l = 3, b = 2: d = √13 ≈ 3,61 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Hypotenuse c = 17 cm, Kathete a = 8 cm. Berechne b.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Hypotenuse erkennen | c = 17 cm ist gegeben | gesucht ist eine Kathete, also wird subtrahiert |
| 2 · Formel umstellen | b² = c² − a² | aus a² + b² = c² auf beiden Seiten a² abziehen |
| 3 · Einsetzen | b² = 289 − 64 = 225 | erst quadrieren, dann subtrahieren — die Wurzel kommt ganz zum Schluss |
| 4 · Wurzel | b = √225 = 15 cm | eine Länge ist positiv, die negative Lösung fällt weg |
Der typische Fehler
Immer addieren: b = √(17² + 8²) = √353 ≈ 18,79 cm. Das fühlt sich richtig an, weil der Satz als „a² + b²“ auswendig gelernt ist. Addiert wird aber nur, wenn die Hypotenuse gesucht ist. Hier kommt eine Kathete heraus, die länger als die Hypotenuse ist — in einem rechtwinkligen Dreieck unmöglich.
So prüfst du dein Ergebnis
Länge vergleichen und zurückrechnen. Eine Kathete muss kürzer sein als die Hypotenuse: 15 < 17, passt. Dann die Probe: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Stimmt.
Im Ratgeber: Satz des Pythagoras.