ZirkelschlagDie Fläche zwischen zwei Graphen ist das Integral von „oben minus unten“ zwischen den Schnittstellen. Die Schnittstellen findest du durch Gleichsetzen, wer oben liegt, prüfst du mit einer Zahl dazwischen. Schneiden sich die Graphen mehr als zweimal, teilst du an jeder Schnittstelle auf und addierst die Beträge. Wo die x-Achse liegt, spielt keine Rolle.
In 5 Schritten
Gleichsetzen
f(x) = g(x) lösen. Die Lösungen sind die Integrationsgrenzen.
Oben oder unten?
Nimm eine Zahl zwischen zwei Schnittstellen und setz sie in beide Funktionen ein. Der größere Wert gehört zum oberen Graphen.
Differenzfunktion bilden
d(x) = oben − unten, mit Klammer um den unteren Term. Dann vereinfachen.
Integrieren
Stammfunktion D von d bilden und D(b) − D(a) ausrechnen.
Mehrere Stücke
Bei drei oder mehr Schnittstellen jedes Stück einzeln, Beträge addieren. Antwort mit Einheit: FE.
Der typische Fehler
Über alle Schnittstellen auf einmal integrieren. f(x) = x³ und g(x) = x schneiden sich bei −1, 0 und 1. ∫ (x³ − x) dx von −1 bis 1 ergibt 0, obwohl dort zwei Flächen liegen. Auf [−1; 0] liegt x³ oben, auf [0; 1] liegt x oben. Jedes Stück hat den Inhalt 1/4, zusammen 1/2 FE.
Beispiel
Gesucht ist die Fläche zwischen f(x) = x² − 2x und g(x) = x.
Grenzen
x² − 2x = x, also x² − 3x = 0, x(x − 3) = 0: x = 0 und x = 3.
Oben
Bei x = 1: g(1) = 1, f(1) = −1. g liegt oben.
Differenzfunktion
d(x) = x − (x² − 2x) = 3x − x².
Integral
A = ∫₀³ (3x − x²) dx = [ 3/2 · x² − 1/3 · x³ ]₀³ = 27/2 − 9 = 9/2
Die Fläche ist 4,5 FE. Dass f zwischen 0 und 2 unter der x-Achse liegt, ändert nichts: Die Höhe oben minus unten bleibt dieselbe.
Hessen und NRW
Im hilfsmittelfreien Teil rechnest du in beiden Ländern von Hand. Im Teil mit Rechner unterscheiden sich die Geräte: In Hessen kann der WTR bestimmte Integrale ausrechnen, bei „berechnen“ musst du die Stammfunktion trotzdem hinschreiben. Der einfache WTR in NRW ist dafür ausdrücklich nicht vorgesehen. Frag deine Lehrkraft, was bei deinem Rechner gilt.
In Zirkelschlag rechnest du Flächen zwischen Graphen in Schritten – Grenzen, oben und unten, Integral – und jeder Schritt wird einzeln geprüft.