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Integralrechnung
Mathematik · Klasse 11–13 · 6 Blätter · 59 Aufgaben
LehrplanHessen: Q1.1 Einführung in die Integralrechnung
Stammfunktionen, bestimmte Integrale und die Fläche zwischen zwei Graphen.
Worum es geht
Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens: Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion mit F′ = f. Weil beim Ableiten jede Konstante wegfällt, schreibt man beim unbestimmten Integral + C. Das bestimmte Integral von a bis b ist F(b) − F(a); es misst die Fläche zwischen Graph und x-Achse, wobei Flächen unter der Achse negativ zählen. Für die Fläche zwischen zwei Graphen integriert man die Differenz „oben minus unten“ zwischen den Schnittstellen.
Die Regeln
| Aufgabe | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1) | ∫ x⁴ dx = x⁵/5 + C |
| Faktor, Summe | Faktoren bleiben stehen, Summen gliedweise | ∫ (6x² − 4) dx = 2x³ − 4x + C |
| Bestimmtes Integral | ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) | ∫₁² 2x dx = 4 − 1 = 3 |
| Fläche zwischen Graphen | Schnittstellen bestimmen, dann ∫ (oben − unten) dx | Grenzen sind die Lösungen von f(x) = g(x) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Berechne die Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 4.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Schnittstellen | x² = 4 → x = −2, x = 2 | die Fläche ist dort begrenzt, wo sich die Graphen treffen; die Grenzen stehen nicht in der Aufgabe |
| 2 · Oben und unten | bei x = 0: g = 4, f = 0 → 4 − x² | zwischen den Schnittstellen liegt die Gerade über der Parabel, die Differenz ist positiv |
| 3 · Stammfunktion | F(x) = 4x − x³/3 | gliedweise mit der Potenzregel; C fällt beim bestimmten Integral weg |
| 4 · Einsetzen | F(2) = 8 − 8/3 = 16/3 · F(−2) = −16/3 | obere Grenze minus untere Grenze |
| 5 · Fläche | A = 16/3 − (−16/3) = 32/3 ≈ 10,667 FE | das Ergebnis ist positiv, wie eine Fläche sein muss |
Der typische Fehler
Nur die Parabel integriert: ∫₋₂² x² dx = 16/3. Das fühlt sich richtig an, weil man „die Fläche an der Parabel“ sucht und f die gegebene Funktion ist. Dieses Integral misst aber die Fläche zwischen Parabel und x-Achse, also den Teil unterhalb der Parabel. Gesucht ist der Teil zwischen Parabel und der Geraden y = 4, und dafür muss man die Differenz 4 − x² integrieren.
So prüfst du dein Ergebnis
Rechteck als Rahmen. Die Fläche liegt im Rechteck von x = −2 bis 2 und y = 0 bis 4, das 16 FE groß ist. Die Fläche unter der Parabel (16/3) und die gesuchte Fläche (32/3) müssen es zusammen genau ausfüllen: 16/3 + 32/3 = 16. Stimmt.
Im Ratgeber: Integral und Fläche zwischen zwei Graphen.