ZirkelschlagFür Extrempunkte löst du f′(x) = 0 (notwendige Bedingung) und setzt jede Lösung in f″ ein (hinreichende Bedingung): f″ < 0 heißt Hochpunkt, f″ > 0 Tiefpunkt. Den y-Wert holst du aus f. Wendepunkte gehen eine Stufe höher: f″(x) = 0 lösen, f‴ ≠ 0 prüfen, y-Wert aus f.
In 6 Schritten
Ableiten
Bilde f′, f″ und f‴.
Notwendige Bedingung
f′(x) = 0 setzen und lösen: ausklammern, faktorisieren oder abc-/pq-Formel. Die Lösungen sind nur Kandidaten.
Hinreichende Bedingung
Jeden Kandidaten in f″ einsetzen. Negativ: Hochpunkt, der Graph ist dort eine Kuppe. Positiv: Tiefpunkt, eine Mulde.
y-Wert ausrechnen
Die Stelle in f einsetzen, nicht in f′. Negative Zahlen in Klammern. Dann den Punkt hinschreiben.
Wendestellen
f″(x) = 0 lösen, dann prüfen: f‴(x) ≠ 0. Dort wechselt der Graph von der Rechts- in die Linkskurve oder umgekehrt.
Wendepunkt angeben
Wieder den y-Wert aus f. Brauchst du die Wendetangente, ist ihre Steigung f′ an der Wendestelle.
Wenn f″ = 0 herauskommt
Dann sagt f″ nichts. Prüf den Vorzeichenwechsel von f′: von + nach − ist ein Hochpunkt, von − nach + ein Tiefpunkt, ohne Wechsel ein Sattelpunkt. Bei f(x) = x⁴ ist f″(0) = 0, aber f′(−1) = −4 und f′(1) = 4: Tiefpunkt im Ursprung. Bei x³ ist f′ links und rechts von 0 positiv: Sattelpunkt.
Der typische Fehler
Nur f′(2) = 0 rechnen und „Hochpunkt bei x = 2“ schreiben. Die waagerechte Tangente ist nur die notwendige Bedingung; ohne f″ oder Vorzeichenwechsel weißt du nicht, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist. Und die Punkte für die Begründung fehlen.
Beispiel: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1
Ableitungen
f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12, f‴(x) = 6.
f′(x) = 0
3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = 0, also x = 1 oder x = 3.
Mit f″ prüfen
f″(1) = −6 < 0: Hochpunkt. f″(3) = 6 > 0: Tiefpunkt.
y-Werte
f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 und f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1. Also H(1 | 5) und T(3 | 1).
Wendepunkt
6x − 12 = 0 ergibt x = 2, f‴(2) = 6 ≠ 0, f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3: W(2 | 3). Er liegt genau in der Mitte zwischen H und T, bei Funktionen dritten Grades ist das immer so – eine gute Kontrolle.
In Zirkelschlag ist „Notwendig, hinreichend, einsetzen“ eine von Lars’ Methoden, und du übst sie Schritt für Schritt an Aufgaben, bei denen jeder Schritt geprüft wird.