ZirkelschlagBei einer Kurvendiskussion gehst du eine Funktion in fester Reihenfolge durch: Ableitungen, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkte, Wendepunkte, Verhalten für x → ±∞, dann die Skizze. Jeder Schritt liefert einen Teil des Graphen. Wer die Reihenfolge kennt, muss nie überlegen, was als Nächstes kommt.
In 7 Schritten
Ableitungen bilden
Schreib f′, f″ und f‴ gleich am Anfang hin, du brauchst sie ab Schritt 4 ständig. Bei ganzrationalen Funktionen ist der Definitionsbereich ganz ℝ.
Symmetrie prüfen
Bilde f(−x), mit Klammern. Kommt f(x) heraus, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse; kommt −f(x) heraus, punktsymmetrisch zum Ursprung. Sonst keins von beiden.
Schnittpunkte mit den Achsen
y-Achse: f(0). x-Achse: f(x) = 0 lösen, am besten erst ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt. Eine doppelte Nullstelle heißt: Der Graph berührt die x-Achse dort nur.
Extrempunkte
Notwendig: f′(x) = 0. Hinreichend: f″ < 0 Hochpunkt, f″ > 0 Tiefpunkt. Den y-Wert holst du aus f. Ausführlich: Extrempunkte und Wendepunkte berechnen.
Wendepunkte
f″(x) = 0 lösen und f‴(x) ≠ 0 prüfen. Den y-Wert wieder aus f.
Verhalten für x → ±∞
Der Summand mit der höchsten Potenz entscheidet. Bei x³ mit positivem Vorfaktor geht der Graph links nach unten und rechts nach oben.
Skizze
Alle Punkte eintragen und verbinden. Zwischen zwei Extrempunkten steigt oder fällt der Graph ohne Umweg.
Der typische Fehler
„Hoch 3 heißt punktsymmetrisch.“ Das stimmt nur, wenn alle Exponenten ungerade sind und keine Zahl ohne x dasteht. f(x) = x³ − 3x² hat einen ungeraden und einen geraden Exponenten, also keine dieser Symmetrien. Prüf es immer allgemein über f(−x), nicht an einem einzelnen Wert.
Beispiel: f(x) = x³ − 3x²
Ableitungen
f′(x) = 3x² − 6x, f″(x) = 6x − 6, f‴(x) = 6.
Symmetrie
f(−x) = (−x)³ − 3(−x)² = −x³ − 3x². Das ist weder f(x) noch −f(x) = −x³ + 3x²: keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung.
Achsen
f(0) = 0. x²(x − 3) = 0 ergibt x = 0 (doppelt) oder x = 3. Im Ursprung berührt der Graph die x-Achse, bei (3 | 0) schneidet er sie.
Extrempunkte
f′(x) = 3x(x − 2) = 0 ergibt x = 0 oder x = 2. f″(0) = −6 < 0: H(0 | 0). f″(2) = 6 > 0 und f(2) = 8 − 12 = −4: T(2 | −4).
Wendepunkt
6x − 6 = 0 ergibt x = 1, f‴(1) = 6 ≠ 0, f(1) = 1 − 3 = −2: W(1 | −2).
Verhalten
x³ bestimmt: f(x) → −∞ für x → −∞ und f(x) → +∞ für x → +∞.
Skizze
Von links unten steigend bis zum Hochpunkt im Ursprung, fallend durch W(1 | −2) bis T(2 | −4), dann steigend durch (3 | 0).
In Zirkelschlag löst du jede Kurvendiskussion Schritt für Schritt, und jeder Schritt wird geprüft, bevor der nächste kommt.