ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Kurvendiskussion
Mathematik · Klasse 11–12 · 4 Blätter · 27 Aufgaben
LehrplanHessen: E.3 Anwendungen des Ableitungsbegriffs
Extrem- und Wendepunkte einer Funktion dritten Grades bestimmen — mit notwendiger und hinreichender Bedingung und einer schnellen Kontrolle am Ende.
Worum es geht
An einem Hochpunkt oder Tiefpunkt ist der Graph waagerecht, die Steigung f′(x) also null. Das allein reicht aber nicht, denn auch ein Sattelpunkt hat Steigung null. Ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, sagt die zweite Ableitung: Sie beschreibt, wie sich die Steigung ändert, also ob der Graph eine Links- oder Rechtskurve macht. Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der die Krümmung wechselt.
Die Regeln
| Gesucht | Notwendig | Hinreichend |
|---|---|---|
| Extremstelle | f′(x) = 0 | f″(x) ≠ 0 an dieser Stelle |
| Hochpunkt | f′(x) = 0 | f″(x) < 0: Rechtskurve, der Graph biegt sich nach unten |
| Tiefpunkt | f′(x) = 0 | f″(x) > 0: Linkskurve, der Graph biegt sich nach oben |
| Wendepunkt | f″(x) = 0 | f‴(x) ≠ 0 |
| y-Koordinate | die Stelle in f einsetzen, nicht in f′ | Punkt als (x|f(x)) angeben |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2. Bestimme Extrem- und Wendepunkte.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ableitungen | f′(x) = 3x² − 6x − 9 · f″(x) = 6x − 6 | alle Bedingungen brauchen f′ und f″; einmal sauber aufschreiben |
| 2 · f′(x) = 0 | 3(x² − 2x − 3) = 0 → x = −1, x = 3 | waagerechte Tangente; durch 3 teilen, dann p-q-Formel oder Faktorisieren: (x + 1)(x − 3) |
| 3 · Art bestimmen | f″(−1) = −12 < 0 · f″(3) = 12 > 0 | das Vorzeichen der Krümmung entscheidet zwischen Hoch- und Tiefpunkt |
| 4 · y-Werte | f(−1) = 7 · f(3) = −25 | die Punkte liegen auf dem Graphen von f |
| 5 · Wendepunkt | 6x − 6 = 0 → x = 1 · f(1) = −9 · f‴ = 6 ≠ 0 | dort wechselt der Graph von der Rechts- in die Linkskurve |
| 6 · Ergebnis | HP(−1|7), TP(3|−25), WP(1|−9) | gefragt sind Punkte, nicht nur Stellen — also immer mit y-Koordinate |
Der typische Fehler
Vorzeichen von f″ verkehrt herum gelesen: f″(−1) < 0, also „Tiefpunkt“. Das fühlt sich richtig an, weil „negativ“ nach „unten“ klingt. f″ < 0 heißt aber, dass die Steigung abnimmt: Links vom Punkt steigt der Graph, rechts fällt er — das ist ein Hochpunkt. Merkhilfe: Die Normalparabel x² hat f″ = 2 > 0 und einen Tiefpunkt.
So prüfst du dein Ergebnis
Symmetrie der kubischen Funktion. Bei jeder Funktion dritten Grades mit zwei Extrempunkten liegt der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen ihnen. Mitte von (−1|7) und (3|−25): ((−1 + 3)/2 | (7 − 25)/2) = (1|−9). Stimmt mit dem Wendepunkt überein. Außerdem muss der Hochpunkt höher liegen als der Tiefpunkt: 7 > −25.
Im Ratgeber: Kurvendiskussion Schritt für Schritt · Extrempunkte und Wendepunkte berechnen.