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Fläche zwischen zwei Graphen
Mathematik · Klasse 12 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q1.2 Anwendungen der Integralrechnung
Schnittstellen suchen, Differenz integrieren, Beträge addieren. Der dritte Schritt ist der, der am häufigsten fehlt.
Worum es geht
Zwei Graphen schließen zwischen ihren Schnittstellen Flächen ein. Die Höhe dieser Fläche an der Stelle x ist der Abstand f(x) − g(x). Man integriert also die Differenzfunktion d(x) = f(x) − g(x) von einer Schnittstelle zur nächsten und nimmt den Betrag.
Die Regeln
| Schritt | Rechnung | Hinweis |
|---|---|---|
| Schnittstellen | f(x) = g(x), also d(x) = 0 lösen | sie sind die Integrationsgrenzen |
| eine Teilfläche | A = |∫ d(x) dx| von x₁ bis x₂ | der Betrag macht die Fläche positiv |
| mehrere Teilflächen | jede Teilfläche einzeln, dann addieren | zwischen jeder Schnittstelle und der nächsten |
| Kontrollformel | d(x) = a(x − x₁)(x − x₂): A = |a| · (x₂ − x₁)³ / 6 | nur für quadratisches d |
| Einheit | FE (Flächeneinheiten) | wenn keine Längeneinheit gegeben ist |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: f(x) = −x² + 4 und g(x) = x + 2. Berechne den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Differenz | d(x) = −x² + 4 − (x + 2) = −x² − x + 2 | Klammer um g, sonst geht das Minus verloren |
| 2 · Schnittstellen | −x² − x + 2 = 0 ⇔ x² + x − 2 = 0 → x₁ = −2, x₂ = 1 | nur dort treffen sich die Graphen |
| 3 · Stammfunktion | D(x) = −x³/3 − x²/2 + 2x | jeden Summanden einzeln integrieren |
| 4 · Einsetzen | D(1) = 7/6; D(−2) = 8/3 − 2 − 4 = −10/3 | (−2)³ = −8, also −(−8)/3 = +8/3 |
| 5 · Fläche | A = |7/6 − (−10/3)| = 27/6 = 9/2 FE | obere minus untere Grenze, dann Betrag |
Der typische Fehler
Bei drei Schnittstellen in einem Stück integrieren. Für d(x) = x³ − x mit den Schnittstellen −1, 0 und 1 ergibt ∫ d(x) dx von −1 bis 1 genau 0. „Von der ersten bis zur letzten Schnittstelle“ klingt nach der ganzen Fläche. Doch links liegt f oberhalb von g, rechts darunter; das Integral zählt die rechte Teilfläche negativ, und beide heben sich auf. Richtig: 1/4 + |−1/4| = 1/2 FE.
So prüfst du dein Ergebnis
Kontrollformel und Schätzung. Hier ist a = −1 und x₂ − x₁ = 3, also |−1| · 27 / 6 = 9/2. Passt. Grob geschätzt: Die Fläche ist 3 breit und bei x = −0,5 am höchsten, d(−0,5) = 2,25; ein Parabelstück füllt zwei Drittel seines Rechtecks, 2/3 · 3 · 2,25 = 4,5.
Im Ratgeber: Integral und Fläche zwischen zwei Graphen.