Zirkelschlag

Ratgeber / Mathe Oberstufe

Exponentialfunktionen im Sachkontext

Entwurf · noch nicht geprüftStand 23.10.2026

Nimmt etwas in jedem Zeitschritt um denselben Prozentsatz zu oder ab, ist es exponentiell: f(t) = a · bt. Dabei ist a der Anfangswert und b der Faktor pro Schritt, b = 1 + p/100 bei Zunahme und b = 1 − p/100 bei Abnahme. Ist ein Zeitpunkt gesucht, löst du mit dem Logarithmus nach t auf und rundest passend zur Frage.

In 6 Schritten

  1. Linear oder exponentiell?

    Kommt jedes Mal derselbe Betrag dazu, ist es linear. Wird jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert, ist es exponentiell.

  2. Prozent in den Faktor

    6 % mehr heißt mal 1,06; 20 % weniger heißt, es bleiben 80 %, also mal 0,8.

  3. Term aufstellen

    f(t) = a · bt. Schreib dazu, wofür t steht und in welcher Einheit.

  4. Wert zu einer Zeit

    Die Zeit einsetzen: f(2).

  5. Zeit zu einem Wert

    a · bt = W, durch a teilen, dann t = ln(W/a) : ln b.

  6. Runden und deuten

    Fragt die Aufgabe nach vollen Zeitschritten, ab denen eine Grenze über- oder unterschritten ist, rundest du auf. Antworte mit Einheit.

Der typische Fehler

Den Rechnerwert abrunden. Im Beispiel unten kommt t ≈ 6,21 heraus. Wer „nach 6 Stunden“ schreibt, liegt falsch: Nach 6 Stunden sind noch etwa 104,86 mg da, die Grenze ist noch nicht unterschritten. Erst nach 7 vollen Stunden sind es weniger als 100 mg.

Beispiel

Im Blut sind 400 mg eines Wirkstoffs. Pro Stunde werden 20 % abgebaut.

  1. Term

    Es bleiben 80 % pro Stunde: f(t) = 400 · 0,8t, t in Stunden.

  2. Nach 2 Stunden

    f(2) = 400 · 0,64 = 256 mg.

  3. Wann unter 100 mg?

    400 · 0,8t = 100, also 0,8t = 0,25 und t = ln 0,25 : ln 0,8 ≈ 6,21. Nach etwa 6,2 Stunden sind es 100 mg; in vollen Stunden gerechnet ist die Grenze nach 7 Stunden unterschritten.

  4. Änderungsrate am Anfang

    f′(t) = 400 · ln 0,8 · 0,8t, also f′(0) ≈ −89,3. Am Anfang nimmt die Menge momentan um etwa 89,3 mg pro Stunde ab – nicht um 80 mg, denn 20 % pro Stunde ist ein Faktor, keine feste Rate.

Hessen und NRW

In Hessen kommen Exponentialfunktionen schon in der Einführungsphase dran, in NRW in der Qualifikationsphase. Der Logarithmus führt in beiden Ländern zum Ziel. Der hessische WTR kann Gleichungen auch näherungsweise lösen, das darfst du bei „bestimmen“ nutzen, wenn du es dokumentierst. Der einfache WTR in NRW hat dafür keinen Gleichungslöser.

In Zirkelschlag ist „1 plus p“ eine von Lars’ Methoden, und Wachstumsaufgaben gehst du dort Schritt für Schritt bis zum Antwortsatz durch.

Kurz gefragt

Wie erkenne ich an Messwerten, ob es exponentiell ist?

Teile jeden Wert durch den vorigen. Kommt immer dieselbe Zahl heraus, ist es exponentiell; sind stattdessen die Differenzen gleich, ist es linear.

Wie schreibe ich 400 · 0,8t mit e?

Mit k = ln 0,8 ≈ −0,2231 gilt f(t) = 400 · e^(−0,2231t). Ein negatives k heißt Abnahme.

Wie berechne ich die Halbwertszeit?

Aus bt = 0,5 folgt t = ln 0,5 : ln b. Für b = 0,8 sind das etwa 3,11 Stunden – unabhängig von der Anfangsmenge.

Quellen

Arbeitsblätter dazu

Exponential- & LogarithmusfunktionenWachstum & Zerfall

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