ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Wachstum & Zerfall
Mathematik · Klasse 10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10Hessen: E.4 Exponentialfunktionen
Hier steht, wie man exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme mit einem Wachstumsfaktor beschreibt und berechnet.
Worum es geht
Wächst oder schrumpft eine Größe in jedem Zeitschritt um denselben Prozentsatz, wird sie jedes Mal mit demselben Wachstumsfaktor q multipliziert. Nach t Schritten gilt N(t) = N₀ · qᵗ, wobei N₀ der Anfangswert ist. Bei Wachstum ist q größer als 1, bei Abnahme liegt q zwischen 0 und 1. Ist die Zeit gesucht, steht t im Exponenten, und man braucht den Logarithmus.
Die Regeln
| Frage | Rechnung | Beispiel |
|---|---|---|
| Wachstumsfaktor | Zunahme um p %: q = 1 + p/100; Abnahme um p %: q = 1 − p/100 | +3 % → q = 1,03; −20 % → q = 0,8 |
| Prozentsatz aus q | q − 1, als Prozent geschrieben | q = 0,92 → −8 % |
| Bestand nach t Schritten | N(t) = N₀ · qᵗ | 500 · 1,03² |
| Zeit gesucht | t = ln(N/N₀)/ln(q) | Verdopplung bei 5 %: ln 2/ln 1,05 ≈ 14,21 |
| e-Funktion | N(t) = N₀ · e^(kt); Zerfall mit e^(−kt), k = ln 2/Halbwertszeit | Halbwertszeit 10 Tage: k ≈ 0,0693 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Ein Wirkstoff wird im Körper stündlich um 15 % abgebaut. Anfangs sind 400 mg im Blut. Wie viel mg sind nach 6 Stunden noch vorhanden? (2 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Faktor | q = 1 − 0,15 = 0,85 | nach jeder Stunde sind noch 85 % der Menge da |
| 2 · Modell | N(t) = 400 · 0,85ᵗ | Anfangswert mal Faktor hoch Anzahl der Stunden |
| 3 · Einsetzen | N(6) = 400 · 0,85⁶ | t = 6 Stunden |
| 4 · Ausrechnen | 0,85⁶ ≈ 0,377150 → N(6) ≈ 150,86 mg | erst ganz am Ende runden, sonst summieren sich Rundungsfehler |
Der typische Fehler
Die Prozente einfach mit der Zeit multiplizieren. Sechs Stunden mal 15 % ergeben 90 %, es blieben also 40 mg. Das fühlt sich richtig an, weil jede Stunde „15 % weggehen“. Die 15 % beziehen sich aber jedes Mal auf die aktuelle, schon kleinere Menge. Nach einer Stunde sind 340 mg übrig, in der zweiten Stunde gehen nur noch 51 mg weg, nicht 60. Deshalb wird multipliziert, nicht subtrahiert.
So prüfst du dein Ergebnis
Die Größenordnung abschätzen. Bei 15 % Abbau pro Stunde halbiert sich die Menge in gut 4 Stunden, denn 0,85⁴ ≈ 0,52. Nach 6 Stunden muss also etwas weniger als die Hälfte übrig sein, aber mehr als ein Viertel: zwischen 100 mg und 200 mg. 150,86 mg liegt dort. Bei Wachstum gilt dasselbe umgekehrt: Das Ergebnis muss größer als der Anfangswert sein.
Im Ratgeber: Exponentialfunktionen im Sachkontext.