ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Exponential- & Logarithmusfunktionen
Mathematik · Klasse 10–12 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10Hessen: E.4 ExponentialfunktionenHessen: Q2.1 Vertiefung der Analysis · LK
Logarithmen als Umkehrung der Potenz, Exponentialgleichungen lösen, Halbwertszeit — und die Reihenfolge, auf die es dabei ankommt.
Worum es geht
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um eine Zahl zu erhalten? log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. Damit lassen sich Gleichungen lösen, in denen die Unbekannte im Exponenten steht, etwa bei Wachstum und Zerfall. Der Taschenrechner kennt vor allem ln (Basis e) und log (Basis 10); jede andere Basis rechnet man damit um.
Die Regeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Definition | log_b(y) = x genau dann, wenn bˣ = y | log₃(81) = 4, weil 3⁴ = 81 |
| Exponent herunterholen | ln(bˣ) = x · ln b | ln(2ˣ) = x · ln 2 |
| Basiswechsel | log_b(y) = ln y / ln b | log₂(10) = ln 10 / ln 2 ≈ 3,322 |
| Exponentialgleichung | Potenz allein stellen, dann logarithmieren | a · bˣ = c → bˣ = c/a |
| Halbwertszeit T | N(t) = N₀ · 0,5^(t/T) | nach 2T ist noch ein Viertel übrig |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse 5 · 3ˣ = 200. (3 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Potenz allein stellen | 3ˣ = 40 | durch 5 teilen — der Logarithmus kann die Potenz nur auflösen, wenn sie allein steht |
| 2 · Logarithmieren | ln(3ˣ) = ln 40 | dieselbe Rechnung auf beiden Seiten hält die Gleichung im Gleichgewicht |
| 3 · Exponent herunterholen | x · ln 3 = ln 40 | dafür ist der Logarithmus da: aus dem Exponenten wird ein Faktor |
| 4 · Nach x auflösen | x = ln 40 / ln 3 ≈ 3,6889 / 1,0986 | ln 3 ist eine gewöhnliche Zahl, durch die man teilen kann |
| 5 · Ergebnis | x ≈ 3,358 | erst am Ende runden |
Der typische Fehler
Faktor und Basis zusammengefasst: 5 · 3ˣ = 15ˣ. Das fühlt sich richtig an, weil man von links nach rechts liest und 5 · 3 = 15 ist. Die Potenz wird aber vor der Multiplikation berechnet: Nur die 3 wird x-mal genommen, die 5 einmal. Mit x = 2 sieht man es: 5 · 3² = 45, aber 15² = 225.
So prüfst du dein Ergebnis
Zwischen zwei Potenzen einschachteln. 3³ = 27 und 3⁴ = 81, und 40 liegt dazwischen — also muss x zwischen 3 und 4 liegen, näher an 3. 3,358 passt. Wer genauer prüfen will, rechnet 5 · 3^3,358 ≈ 200.
Im Ratgeber: Exponentialfunktionen im Sachkontext.