ZirkelschlagNimm einen der drei Punkte als Stützpunkt, zum Beispiel A, und bilde von dort die beiden Spannvektoren: von A nach B und von A nach C, jeweils Endpunkt minus Anfangspunkt. Dann heißt die Ebene E: x = A + r · AB + s · AC. Für die Koordinatenform bestimmst du noch einen Normalenvektor und setzt einen Punkt ein.
In 6 Schritten
Stützpunkt wählen
A wird der Stützvektor, also der Vektor ohne Parameter.
Spannvektoren bilden
AB = B − A und AC = C − A. Beide starten im selben Punkt A.
Vielfache ausschließen
Sind AB und AC Vielfache voneinander, liegen die drei Punkte auf einer Geraden und spannen keine Ebene auf.
Parameterform hinschreiben
E: x = A + r · AB + s · AC, mit den Zahlen eingesetzt.
Normalenvektor
Ansatz n = (a | b | c) mit n · AB = 0 und n · AC = 0. Eine Koordinate frei wählen. Wenn ihr das Kreuzprodukt hattet, geht es damit direkt.
Koordinatenform
Die Koordinaten von n kommen vor x₁, x₂, x₃, rechts steht n · A. Probe mit B und C.
Der typische Fehler
Stütz- und Spannvektor verwechseln: Statt der Verbindungsvektoren werden einfach die Punkte B und C als Spannvektoren eingesetzt, x = (2 | 0 | 1) + r · (4 | 1 | 1) + s · (2 | 2 | 3). Das ist eine andere Ebene, B liegt nicht einmal darin. Spannvektoren sind immer Differenzen zweier Punkte.
Beispiel
Gegeben sind A(2 | 0 | 1), B(4 | 1 | 1) und C(2 | 2 | 3).
Spannvektoren
AB = (4 − 2 | 1 − 0 | 1 − 1) = (2 | 1 | 0) und AC = (0 | 2 | 2). Keine Vielfachen: Bei x₁ steht der 2 eine 0 gegenüber.
Parameterform
E: x = (2 | 0 | 1) + r · (2 | 1 | 0) + s · (0 | 2 | 2)
Normalenvektor
2a + b = 0 und 2b + 2c = 0. Mit a = 1 folgt b = −2 und c = 2, also n = (1 | −2 | 2). Das Kreuzprodukt liefert (2 | −4 | 4), das Doppelte – genauso richtig.
Koordinatenform
1 · 2 + (−2) · 0 + 2 · 1 = 4, also
E: x₁ − 2x₂ + 2x₃ = 4
Probe: B gibt 4 − 2 + 2 = 4, C gibt 2 − 4 + 6 = 4.
In Zirkelschlag ist „Spitze minus Fuß“ eine von Lars’ Methoden, und beim Aufstellen von Ebenen wird jeder Schritt einzeln geprüft.