ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Vektoren & analytische Geometrie
Mathematik · Klasse 11–13 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q2.2 Orientieren und Bewegen im Raum
Rechnen mit Vektoren im Raum: Linearkombination, Skalarprodukt, Betrag und der Winkel zwischen zwei Vektoren.
Worum es geht
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: so weit in x-, so weit in y-, so weit in z-Richtung. Man schreibt ihn mit seinen drei Koordinaten, hier als (a₁ | a₂ | a₃). Addiert und vervielfacht wird koordinatenweise. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist dagegen eine Zahl, kein Vektor; aus ihm und den Längen der Vektoren bekommt man den Winkel zwischen ihnen.
Die Regeln
| Rechnung | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Addieren, vervielfachen | koordinatenweise | 3 · (1 | 0 | 2) + (0 | 1 | −1) = (3 | 1 | 5) |
| Skalarprodukt | a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | (1 | 2 | 0) · (3 | −1 | 5) = 3 − 2 + 0 = 1 |
| Betrag (Länge) | |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | |(2 | 1 | 2)| = √9 = 3 |
| Winkel | cos φ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|) | Skalarprodukt 0 heißt: φ = 90° |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: a⃗ = (1 | −2 | 2), b⃗ = (4 | 0 | −3). Berechne den eingeschlossenen Winkel. (1 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Skalarprodukt | 1 · 4 + (−2) · 0 + 2 · (−3) = 4 + 0 − 6 = −2 | es misst, wie weit die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen |
| 2 · Beträge | |a⃗| = √(1 + 4 + 4) = 3 · |b⃗| = √(16 + 0 + 9) = 5 | das Skalarprodukt hängt auch von den Längen ab; die müssen herausgeteilt werden |
| 3 · Kosinus | cos φ = −2 / (3 · 5) = −2/15 ≈ −0,1333 | jetzt bleibt nur die Richtung übrig, ein Wert zwischen −1 und 1 |
| 4 · Winkel | φ = cos⁻¹(−0,1333) ≈ 97,7° | negativer Kosinus heißt stumpfer Winkel |
Der typische Fehler
Betrag als Summe der Koordinaten: |a⃗| = 1 − 2 + 2 = 1. Das fühlt sich richtig an, weil die Länge „alles zusammen“ sein soll. Die Länge eines Vektors ist aber die Diagonale eines Quaders mit den Kantenlängen 1, 2 und 2 — also Pythagoras im Raum: √(1² + 2² + 2²) = 3. Negative Koordinaten machen einen Vektor nicht kürzer.
So prüfst du dein Ergebnis
Vorzeichen und Grenzen. Ist das Skalarprodukt negativ, muss der Winkel über 90° liegen; ist es positiv, darunter. Hier: −2 und 97,7°, passt. Der Kosinus muss zwischen −1 und 1 liegen — kommt etwas anderes heraus, ist ein Betrag falsch.
Im Ratgeber: Ebene aus drei Punkten aufstellen.