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Ebenengleichungen
Mathematik · Klasse 12–13 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q2.3 Geraden und Ebenen im Raum
Die Koordinatenform ist die handlichste Ebenengleichung: Punktprobe, Spurpunkte, Schnitt und Abstand gehen damit fast von selbst. Diese Seite zeigt, wie man sie aus drei Punkten gewinnt.
Worum es geht
Eine Ebene ist festgelegt durch einen Punkt und einen Normalenvektor n⃗ = (a | b | c), der senkrecht auf ihr steht. Die Koordinatenform ax + by + cz = d enthält genau diese Koeffizienten. Kennt man nur zwei Richtungen in der Ebene, liefert das Kreuzprodukt den Normalenvektor. Auf unseren Blättern werden die Koeffizienten vollständig gekürzt, und der erste von null verschiedene ist positiv.
Die Regeln
| Aufgabe | Rechnung | Hinweis |
|---|---|---|
| Koordinatenform | ax + by + cz = d mit d = n⃗ · p⃗ | P ist ein Punkt der Ebene |
| Kreuzprodukt | u⃗ × v⃗ = (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) | steht senkrecht auf u⃗ und v⃗ |
| Punktprobe | Koordinaten einsetzen | Gleichung erfüllt: Punkt liegt in E |
| Spurpunkte | zwei Koordinaten null setzen | S₁(d/a | 0 | 0) usw. |
| Schnitt mit einer Geraden | Geradenpunkt in E einsetzen, r bestimmen | r in die Gerade einsetzen |
| Abstand Punkt–Ebene | Abstand = |n⃗ · q⃗ − d| / |n⃗| | Hesse-Normalform |
| Winkel Gerade–Ebene | sin φ = |n⃗ · u⃗| / (|n⃗| · |u⃗|) | Sinus, weil n⃗ senkrecht auf E steht |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Die Ebene E geht durch A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 2) und C(1 | 2 | 5). Gib E in Koordinatenform an.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Richtungen | AB⃗ = (2 | 1 | 0), AC⃗ = (0 | 2 | 3) | zwei Wege innerhalb der Ebene |
| 2 · Erste Komponente | 1 · 3 − 0 · 2 = 3 | u₂v₃ − u₃v₂ |
| 3 · Zweite Komponente | 0 · 0 − 2 · 3 = −6 | u₃v₁ − u₁v₃: hier ist die Reihenfolge umgekehrt |
| 4 · Dritte Komponente | 2 · 2 − 1 · 0 = 4 | u₁v₂ − u₂v₁; n⃗ = (3 | −6 | 4), nicht weiter kürzbar |
| 5 · d | d = 3 · 1 + (−6) · 0 + 4 · 2 = 11 | A liegt in E, also erfüllt A die Gleichung |
| 6 · Ergebnis | E: 3x − 6y + 4z = 11 | die Koeffizienten sind die Komponenten von n⃗ |
Der typische Fehler
Das Vorzeichen der mittleren Komponente. Man rechnet „kreuzweise malnehmen und abziehen“ in derselben Richtung wie bei den anderen beiden und erhält 2 · 3 − 0 · 0 = 6, also n⃗ = (3 | 6 | 4). Das Muster fühlt sich einheitlich an, ist aber für die Mitte umgekehrt: u₃v₁ − u₁v₃. Mit (3 | 6 | 4) wäre n⃗ · AB⃗ = 6 + 6 + 0 = 12, also nicht senkrecht.
So prüfst du dein Ergebnis
Senkrecht und Punktprobe. n⃗ · AB⃗ = 6 − 6 + 0 = 0 und n⃗ · AC⃗ = 0 − 12 + 12 = 0. Dann B einsetzen: 9 − 6 + 8 = 11, und C: 3 − 12 + 20 = 11. Alle drei Punkte liegen in E. Passt.
Im Ratgeber: Ebene aus drei Punkten aufstellen · Abstand Punkt–Ebene berechnen.