ZirkelschlagDer Abstand eines Punktes P von einer Ebene E ist die Länge des Lots von P auf E. Mit dem Lotfußpunktverfahren stellst du die Gerade durch P in Richtung des Normalenvektors auf, setzt sie in E ein, bekommst den Lotfußpunkt F und berechnest die Länge von PF. Kürzer geht es mit der Hesseschen Normalenform, wenn nur der Abstand gefragt ist.
Lotfußpunktverfahren in 5 Schritten
Normalenvektor ablesen
In E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = c ist n = (n₁ | n₂ | n₃). Steht E in Parameterform da, rechnest du ihn erst aus.
Lotgerade aufstellen
l: x = P + t · n. Sie geht durch P und steht senkrecht auf E.
In E einsetzen
Den allgemeinen Punkt der Lotgeraden in die Koordinatenform einsetzen und nach t lösen. Klammern setzen.
Lotfußpunkt F
t in die Lotgerade einsetzen. Probe: F muss die Ebenengleichung erfüllen.
Abstand
d(P, E) = |PF|: Wurzel aus der Summe der quadrierten Koordinaten von F − P.
Der kurze Weg: Hessesche Normalenform
d(P, E) = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − c| : |n|
P in die linke Seite einsetzen, c abziehen, Betrag nehmen, durch die Länge des Normalenvektors teilen.
Der typische Fehler
Lotfußpunkt und Verbindungsvektor verwechseln. F ist ein Punkt der Ebene, PF ist der Pfeil dorthin, und der Abstand ist eine Länge, also eine Zahl. Bei der Hesseschen Normalenform passiert der zweite Klassiker: durch n₁ + n₂ + n₃ teilen statt durch |n|. Im Beispiel käme dann 18 statt 6 heraus.
Beispiel
Gesucht ist der Abstand von P(4 | −3 | 6) zur Ebene E: x₁ − 2x₂ + 2x₃ = 4 aus dem Artikel Ebene aus drei Punkten.
Lotgerade
n = (1 | −2 | 2), also l: x = (4 | −3 | 6) + t · (1 | −2 | 2). Allgemeiner Punkt: (4 + t | −3 − 2t | 6 + 2t).
Einsetzen
(4 + t) − 2 · (−3 − 2t) + 2 · (6 + 2t) = 4, also 22 + 9t = 4 und t = −2.
Lotfußpunkt
F = (4 − 2 | −3 + 4 | 6 − 4) = (2 | 1 | 2). Probe: 2 − 2 + 4 = 4.
Abstand
PF = (−2 | 4 | −4) und |PF| = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6.
Gegenprobe mit der HNF
|n| = √(1 + 4 + 4) = 3 und |4 + 6 + 12 − 4| : 3 = 18 : 3 = 6. Der Abstand ist 6 LE.
Hessen und NRW
Den Abstand Punkt–Ebene über den Lotfußpunkt gibt es im Grund- und im Leistungskurs, das Spiegeln eines Punktes an einer Ebene ebenso (in NRW im Grundkurs in einfachen Fällen). Die Hessesche Normalenform ist in den Lehrplänen nicht ausdrücklich verlangt, sie ist ein möglicher Weg. Welcher bei euch Standard ist, sagt dir deine Lehrkraft.
In Zirkelschlag gehst du das Lotfußpunktverfahren Schritt für Schritt durch, und jede Eingabe – Lotgerade, t, F, Abstand – wird geprüft.