Binomialverteilung: Formel, Taschenrechner, typische Aufgaben

Eine binomialverteilte Zufallsgröße X zählt die Treffer bei n gleichen, unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Für genau k Treffer gilt die Formel von Bernoulli. Für „höchstens“, „mindestens“ und „zwischen“ übersetzt du die Frage in die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) und holst den Wert aus dem Taschenrechner.

P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

In 5 Schritten

1. Prüfen und benennen

   Zwei Ausgänge pro Versuch, n Wiederholungen, p bleibt gleich. Schreib hin, was X zählt: „X: Anzahl der Gewinne“.

2. n und p notieren

   Zum Beispiel X ~ B(10; 0,2).

3. Die Frage übersetzen

   Genau k: P(X = k). Höchstens k: P(X ≤ k). Mindestens k: 1 − P(X ≤ k − 1). Von a bis b: P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).

4. Rechnen

   Einzelwerte mit der Formel oder dem Rechner, kumulierte Werte mit der kumulierten Funktion des Rechners. Aufschreiben in mathematischer Schreibweise, nicht als Tastenfolge.

5. Antworten

   Ergebnis runden (meist auf vier Nachkommastellen oder auf 0,1 %) und einen Antwortsatz schreiben.

Hessen und NRW

In beiden Ländern muss der zugelassene Rechner einzelne und kumulierte Werte der Binomialverteilung liefern. Hessen gibt in den Hinweisen zum Landesabitur die Schreibweise vor, etwa P(X ≤ k) oder F(n; p; k); der Operator „berechnen“ wird für solche Wahrscheinlichkeiten nicht verwendet, weil sie nicht von Hand gerechnet werden sollen. Ob es in der Prüfung noch Tabellen gibt, frag deine Schule.

In Zirkelschlag übst du die Übersetzung von „höchstens“, „mindestens“ und „zwischen“ Schritt für Schritt, mit Prüfung jeder Zeile.