ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Binomialverteilung
Mathematik · Klasse 11–13 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wann ein Zufallsversuch binomialverteilt ist, wie man P(X = k) berechnet und was Erwartungswert und Standardabweichung aussagen.
Worum es geht
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen, Treffer und Niete, heißt Bernoulli-Experiment. Wiederholt man es n-mal unabhängig mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p, dann ist die Anzahl X der Treffer binomialverteilt: X ~ B(n; p). Die Formel für P(X = k) zählt, auf wie vielen Wegen k Treffer entstehen können, und multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Weges.
Die Regeln
| Größe | Formel | Beispiel: n = 10, p = 0,3 |
|---|---|---|
| P(X = k) | C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ | P(X = 0) = 0,7¹⁰ ≈ 0,0282 |
| P(X ≤ k) | P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k), meist mit Tabelle oder GTR | P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) ≈ 0,9718 |
| Erwartungswert | μ = n · p | μ = 3 |
| Standardabweichung | σ = √(n · p · (1 − p)) | σ = √2,1 ≈ 1,45 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: X ~ B(10; 0,3). Berechne P(X = 2). (4 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Anzahl der Wege | C(10, 2) = 10 · 9 / 2 = 45 | die 2 Treffer können an 45 verschiedenen Stellen der 10 Versuche liegen |
| 2 · Treffer | 0,3² = 0,09 | jeder der beiden Treffer hat Wahrscheinlichkeit 0,3 |
| 3 · Nieten | 0,7⁸ ≈ 0,057648 | die übrigen 8 Versuche sind Nieten, jeweils mit 0,7 |
| 4 · Zusammensetzen | 45 · 0,09 · 0,057648 ≈ 0,23347 | jeder Weg hat dieselbe Wahrscheinlichkeit; es gibt 45 davon |
| 5 · Runden | P(X = 2) ≈ 0,2335 | vier Nachkommastellen, wie verlangt |
Der typische Fehler
Binomialkoeffizient vergessen: 0,3² · 0,7⁸ ≈ 0,0052. Das fühlt sich richtig an, weil die Pfadregel genau dieses Produkt liefert. Es ist aber nur die Wahrscheinlichkeit eines Pfades, etwa „die ersten beiden Treffer, dann acht Nieten“. Die zwei Treffer können an 45 verschiedenen Stellen liegen, und jeder dieser Pfade zählt mit.
So prüfst du dein Ergebnis
Mit dem Erwartungswert vergleichen. μ = 10 · 0,3 = 3, die Werte um k = 3 sind also die wahrscheinlichsten. k = 2 liegt direkt daneben, eine Wahrscheinlichkeit um 0,2 ist plausibel. 0,005 wäre für einen Wert so nah am Erwartungswert viel zu klein.
Im Ratgeber: Binomialverteilung: Formel, Taschenrechner, typische Aufgaben.