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Verhältnis & Dreisatz

Mathematik · Klasse 6–7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben

LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Zuordnungen · Jg. 7/8

Verhältnisse kürzen und der Dreisatz in beide Richtungen — mit der einen Frage, die vor jeder Rechnung steht.

Worum es geht

Ein Verhältnis wie 12 : 18 vergleicht zwei Größen; man kürzt es wie einen Bruch. Der Dreisatz löst Aufgaben, in denen zwei Größen voneinander abhängen. Bei proportionalen Größen gilt „je mehr, desto mehr“: doppelt so viele Stück kosten doppelt so viel. Bei umgekehrt proportionalen gilt „je mehr, desto weniger“: doppelt so viele Arbeiter brauchen halb so lange. Welcher Fall vorliegt, muss man vor dem Rechnen entscheiden.

Die Regeln

Fall	Regel	Beispiel
Verhältnis kürzen	beide Seiten durch den ggT teilen	12 : 18 = 2 : 3 (beide durch 6)
Proportional	auf eine Einheit teilen, dann malnehmen; der Quotient bleibt gleich	5 Stück 35 € → 1 Stück 7 € → 8 Stück 56 €
Umgekehrt proportional	auf eine Einheit malnehmen, dann teilen; das Produkt bleibt gleich	3 Arbeiter 8 Tage → 24 Arbeitstage → 6 Arbeiter 4 Tage

Beispiel, Schritt für Schritt

Aufgabe: 6 Arbeiter brauchen 10 Tage. Wie lange brauchen 4 Arbeiter?

Schritt	Rechnung	Warum
1 · Art bestimmen	weniger Arbeiter → mehr Tage	je weniger, desto mehr: umgekehrt proportional
2 · Auf die Einheit	6 · 10 = 60 Arbeitstage	ein einzelner Arbeiter bräuchte sechsmal so lange; die Gesamtarbeit bleibt gleich
3 · Auf die gesuchte Menge	60 : 4 = 15 Tage	die 60 Arbeitstage werden auf 4 Leute verteilt
4 · Antwortsatz	4 Arbeiter brauchen 15 Tage	mehr als 10 Tage, wie in Schritt 1 erwartet

Der typische Fehler

Umgekehrte Proportionalität wie normale gerechnet: 10 : 6 · 4 ≈ 6,67 Tage. Das fühlt sich richtig an, weil der Dreisatz meist als „erst teilen, dann malnehmen“ gelernt wird. Das Ergebnis sagt aber, dass weniger Arbeiter schneller fertig sind — das kann nicht sein. Bei „je mehr, desto weniger“ kehrt sich die Reihenfolge um: erst malnehmen, dann teilen.

So prüfst du dein Ergebnis

Je-desto-Satz und Probe. Formuliere vor dem Rechnen den Satz „je mehr …, desto …“ und prüfe, ob dein Ergebnis in die richtige Richtung geht. Bei umgekehrter Proportionalität muss das Produkt gleich bleiben: 6 · 10 = 60 und 4 · 15 = 60. Bei proportionalen Größen bleibt der Quotient gleich.

Erklärung Grundlagen 1 Grundlagen 2 Standard 1 Standard 2 Erweitert 1 Erweitert 2

Im Ratgeber: Prozentrechnung mit dem Dreisatz.