ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Ungleichungen
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Hier steht, wie man eine lineare Ungleichung löst. Fast alles geht wie bei Gleichungen, mit einer einzigen Ausnahme, die man kennen muss.
Worum es geht
Eine Ungleichung wie 2x + 7 > 5x − 8 hat nicht eine Lösung, sondern unendlich viele: alle x auf einer Seite einer Grenze. Man formt um wie bei einer Gleichung, bis x allein steht, und schreibt das Ergebnis als x < 5 oder x ≥ −2. Die Ausnahme: Multipliziert oder teilt man durch eine negative Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Bei einer Doppelungleichung rechnet man in allen drei Teilen gleichzeitig.
Die Regeln
| Umformung | Zeichen | Beispiel |
|---|---|---|
| addieren oder subtrahieren | bleibt | x + 4 < 9 | −4 → x < 5 |
| mal oder geteilt durch eine positive Zahl | bleibt | 3x ≥ 12 | :3 → x ≥ 4 |
| mal oder geteilt durch eine negative Zahl | dreht sich um | −2x > 6 | :(−2) → x < −3 |
| Doppelungleichung | in allen drei Teilen dasselbe rechnen | 1 < 2x + 3 ≤ 9 → −1 < x ≤ 3 |
| größte oder kleinste ganze Zahl | bei < und > gehört die Grenze nicht dazu | x < 4 → größte ganze Zahl 3 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse die Ungleichung: 2x + 7 > 5x − 8
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · | −5x | −3x + 7 > −8 | die x-Glieder auf eine Seite; Subtrahieren ändert das Zeichen nicht |
| 2 · | −7 | −3x > −15 | die Zahlen auf die andere Seite |
| 3 · | :(−3) | x < 5 | Teilen durch eine negative Zahl kehrt die Reihenfolge um: 2 < 3, aber −2 > −3; deshalb wird aus > ein < |
| 4 · Ergebnis lesen | x < 5 | alle Zahlen kleiner als 5 erfüllen die Ungleichung, 5 selbst nicht |
Der typische Fehler
Das Zeichen beim Teilen durch −3 nicht umdrehen. Dann steht am Ende x > 5. Das fühlt sich richtig an, weil man bei Gleichungen auch einfach durch −3 teilt und das Gleichheitszeichen stehen bleibt. Ein Ungleichheitszeichen beschreibt aber eine Reihenfolge, und die kehrt sich beim Vorzeichenwechsel um. Test mit x = 6, das nach dem falschen Ergebnis passen müsste: 2 · 6 + 7 = 19 und 5 · 6 − 8 = 22, aber 19 > 22 ist falsch.
So prüfst du dein Ergebnis
Drei Testzahlen einsetzen. Eine Zahl aus der Lösungsmenge muss die Ausgangsungleichung erfüllen: x = 0 gibt 7 > −8, stimmt. Eine Zahl außerhalb darf sie nicht erfüllen: x = 6 gibt 19 > 22, falsch, wie es sein soll. An der Grenze x = 5 müssen beide Seiten gleich sein: 17 und 17. Stimmt die Grenze, aber die Testzahl innen nicht, hast du das Zeichen verkehrt herum.
Im Ratgeber: Gleichungen lösen.