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Sachaufgaben mit Gleichungen
Mathematik · Klasse 7–8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Hier steht, wie man aus einem Text eine Gleichung macht. Das Lösen ist meist leicht; die Arbeit steckt im Aufstellen.
Worum es geht
In einer Sachaufgabe ist eine Größe unbekannt, und der Text beschreibt, wie sie mit anderen Größen zusammenhängt. Man gibt der Unbekannten den Namen x, drückt alle anderen Größen durch x aus und sucht zwei Dinge, die laut Text gleich sind. Das ist die Gleichung. Nach dem Lösen beantwortet man die Frage mit Einheit und prüft das Ergebnis am Text.
Die Regeln
| Schritt | Frage dazu | Beispiel |
|---|---|---|
| Unbekannte festlegen | Mit wem wird alles andere verglichen? | Leas Alter: x |
| Andere Größen ausdrücken | Wie hängen sie mit x zusammen? | Ben ist 4 Jahre älter: x + 4 |
| Gleichung aufstellen | Was ist laut Text gleich? | x + (x + 4) = 30 |
| Lösen | Äquivalenzumformungen | 2x = 26 → x = 13 |
| Antworten | Welche Größe ist gefragt, in welcher Einheit? | Lea ist 13 Jahre alt. |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Anna, Ben und Clara teilen sich 95 €. Ben bekommt doppelt so viel wie Anna, Clara bekommt 15 € mehr als Anna. Wie viel Euro bekommt Anna?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Unbekannte | Anna: x | Ben und Clara werden beide mit Anna verglichen, darum ist Anna die Unbekannte |
| 2 · Andere ausdrücken | Ben: 2x; Clara: x + 15 | „doppelt so viel wie“ heißt mal 2, „15 € mehr als“ heißt plus 15 |
| 3 · Gleichung | x + 2x + (x + 15) = 95 | die drei Anteile ergeben zusammen den ganzen Betrag |
| 4 · Lösen | 4x + 15 = 95 → 4x = 80 → x = 20 | zusammenfassen, 15 abziehen, durch 4 teilen |
| 5 · Antwort | Anna bekommt 20 €. | gefragt war Annas Anteil, mit Einheit |
Der typische Fehler
Beim Rechteckumfang nur zwei Seiten addieren. Heißt es „Ein Rechteck ist 6 cm länger als breit, der Umfang beträgt 52 cm“, schreiben viele x + (x + 6) = 52. Das fühlt sich richtig an, weil Breite und Länge beide in der Gleichung vorkommen. Der Umfang läuft aber um alle vier Seiten: 2x + 2(x + 6) = 52, also x = 10. Die falsche Gleichung liefert x = 23, und dieses Rechteck hätte einen Umfang von 104 cm.
So prüfst du dein Ergebnis
Die Probe am Text, nicht an der Gleichung. Anna 20 €, Ben 40 € (doppelt so viel), Clara 35 € (15 € mehr). Zusammen: 20 + 40 + 35 = 95 €. Jede Aussage des Textes ist erfüllt. Setzt man nur in die eigene Gleichung ein, bemerkt man einen Fehler beim Aufstellen nicht.
Im Ratgeber: Gleichungen lösen.