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Steigung aus zwei Punkten
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Hier steht, wie man aus zwei Punkten die Steigung einer Geraden berechnet. Es ist eine Formel, aber zwei Dinge daran gehen regelmäßig schief: die Reihenfolge und die Vorzeichen.
Worum es geht
Die Steigung m sagt, um wie viel eine Gerade steigt oder fällt, wenn man eine Einheit nach rechts geht. Aus zwei Punkten berechnet man sie als Höhenunterschied geteilt durch Breitenunterschied. Punkte schreibt man als A(x|y), die erste Zahl ist immer der x-Wert. Das Ergebnis gibt man als gekürzten Bruch oder als Dezimalzahl an.
Die Regeln
| Regel | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Formel | m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) | A(1|2), B(4|8): m = 6/3 = 2 |
| Reihenfolge | oben und unten denselben Punkt zuerst | (8 − 2)/(4 − 1), nicht (8 − 2)/(1 − 4) |
| Negative Koordinaten | in Klammern einsetzen | y₁ = −3: y₂ − (−3) |
| Vorzeichen | m > 0 steigt, m < 0 fällt, m = 0 waagerecht | m = −1/2: die Gerade fällt |
| Kürzen | als gekürzten Bruch oder Dezimalzahl angeben | 6/4 = 3/2 = 1,5 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Berechne die Steigung der Geraden durch P(−2|5) und Q(4|−4).
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Benennen | x₁ = −2, y₁ = 5; x₂ = 4, y₂ = −4 | P ist Punkt 1, Q Punkt 2; die Wahl ist frei, muss dann aber bleiben |
| 2 · Zähler | y₂ − y₁ = −4 − 5 = −9 | der Höhenunterschied von P nach Q |
| 3 · Nenner | x₂ − x₁ = 4 − (−2) = 6 | minus minus ergibt plus: der Weg nach rechts ist 6 lang |
| 4 · Teilen und kürzen | m = −9/6 = −3/2 | mit 3 kürzen; negativ, also fällt die Gerade |
Der typische Fehler
Oben und unten die Punkte in verschiedener Reihenfolge abziehen. Wer oben Q minus P und unten P minus Q rechnet, erhält −9/(−6) = 3/2. Das fühlt sich richtig an, weil jede Differenz für sich korrekt aussieht. Durch die vertauschte Reihenfolge ändert aber genau eine der beiden ihr Vorzeichen, und die Steigung kippt. Hier hieße das, die Gerade steigt, obwohl es von P nach Q nach rechts und nach unten geht.
So prüfst du dein Ergebnis
Vom einen Punkt zum anderen laufen. Starte bei P(−2|5) und gehe 6 nach rechts. Mit m = −3/2 ändert sich y um −3/2 · 6 = −9, du landest bei y = 5 − 9 = −4. Das ist genau Q. Schneller geht die Vorzeichenprobe: Liegt der rechte Punkt tiefer, muss m negativ sein.
Im Ratgeber: Lineare Funktionen.