ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Parallele und senkrechte Geraden
Mathematik · Klasse 9–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Hier steht, woran man an der Steigung erkennt, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht sind, und wie man damit eine neue Gerade aufstellt.
Worum es geht
Ob zwei Geraden parallel oder senkrecht zueinander liegen, verrät allein ihre Steigung. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, sie steigen gleich schnell und treffen sich nie. Bei senkrechten Geraden ist das Produkt der Steigungen −1. Die eine steigt, die andere fällt, und zwar im umgekehrten Verhältnis. Ist eine Gerade als ax + by = c gegeben, löst man sie zuerst nach y auf.
Die Regeln
| Lage | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| parallel | m₁ = m₂ | y = 2x + 1 und y = 2x − 5 |
| identisch | gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt | y = 2x + 1 und 4x − 2y = −2 |
| senkrecht | m₁ · m₂ = −1, also m₂ = −1/m₁ | m₁ = 2 → m₂ = −1/2 |
| senkrecht bei Bruch | Bruch umdrehen und Vorzeichen wechseln | m₁ = −3/4 → m₂ = 4/3 |
| Form ax + by = c | erst nach y auflösen | 3x + 2y = 4 → y = −3/2 x + 2 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Gegeben ist g: y = 2/3 x + 1. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu g verläuft und durch P(4|−1) geht.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Steigung von g | m_g = 2/3 | die Zahl vor x in der Normalform |
| 2 · Steigung von h | m_h = −1 : (2/3) = −3/2 | senkrecht heißt m_g · m_h = −1: Kehrwert bilden und das Vorzeichen wechseln |
| 3 · P einsetzen | −1 = −3/2 · 4 + b | P liegt auf h und erfüllt deshalb die Gleichung |
| 4 · Nach b auflösen | −1 = −6 + b → b = 5 | auf beiden Seiten 6 addieren |
| 5 · Gleichung | h: y = −3/2 x + 5 | m_h und b in die Normalform |
Der typische Fehler
Für die senkrechte Steigung nur den Kehrwert bilden und das Vorzeichen vergessen. Dann wird aus 2/3 die Steigung 3/2. Das fühlt sich richtig an, weil „senkrecht“ nach „umgekehrt“ klingt und das Umdrehen des Bruchs der sichtbare Teil der Regel ist. Aber 2/3 · 3/2 = 1, nicht −1. Beide Geraden würden steigen, und zwei steigende Geraden können nicht senkrecht aufeinander stehen: Eine muss fallen.
So prüfst du dein Ergebnis
Die Steigungen multiplizieren und den Punkt einsetzen. 2/3 · (−3/2) = −1, die Geraden stehen also senkrecht. P(4|−1) in h: −3/2 · 4 + 5 = −6 + 5 = −1. Beides stimmt. Bei parallelen Geraden prüft man entsprechend, dass die Steigungen gleich und die Achsenabschnitte verschieden sind.
Im Ratgeber: Lineare Funktionen.