ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Lineare Gleichungen
Mathematik · Klasse 7–8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Wie man eine lineare Gleichung Schritt für Schritt nach x auflöst und das Ergebnis selbst prüft.
Worum es geht
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Man darf mit beiden Seiten dasselbe tun — addieren, subtrahieren, mit einer Zahl ungleich null malnehmen oder durch sie teilen —, dann bleibt sie im Gleichgewicht. Ziel ist, dass am Ende x allein auf einer Seite steht. Jeder Schritt macht eine Rechnung rückgängig, die x „festhält“.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Vereinfachen | Klammern auflösen, gleichartige Glieder zusammenfassen — auf jeder Seite für sich | 2(x + 3) + x = 3x + 6 |
| x-Glieder sammeln | auf beiden Seiten dasselbe x-Glied abziehen | 5x − 3 = 2x + 9 | −2x → 3x − 3 = 9 |
| Zahl wegschaffen | die Gegenrechnung auf beiden Seiten | 3x − 3 = 9 | +3 → 3x = 12 |
| Faktor wegschaffen | beide Seiten durch den Faktor vor x teilen | 3x = 12 | :3 → x = 4 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: 3(2x − 4) + 5x = 21
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Klammer auflösen | 6x − 12 + 5x = 21 | solange x in einer Klammer steckt, kommt man nicht an es heran |
| 2 · Zusammenfassen | 11x − 12 = 21 | links stehen zwei x-Glieder, die sich zu einem machen lassen |
| 3 · | +12 | 11x = 33 | die −12 wird durch +12 aufgehoben, und zwar auf beiden Seiten |
| 4 · | :11 | x = 3 | x ist mit 11 malgenommen; Teilen macht das rückgängig |
Der typische Fehler
Rechenzeichen beim „Rüberbringen“ nicht umgedreht: aus 11x − 12 = 21 wird 11x = 21 − 12 = 9. Es fühlt sich richtig an, weil die 12 ja „auf die andere Seite“ gewandert ist. Aber eine Zahl wandert nicht, man rechnet auf beiden Seiten +12, um die −12 aufzuheben. Wer den Schritt als „| +12“ hinter die Zeile schreibt, macht diesen Fehler nicht.
So prüfst du dein Ergebnis
Einsetzen in die Ausgangsgleichung. x = 3: 3(6 − 4) + 15 = 6 + 15 = 21. Beide Seiten gleich, also stimmt die Lösung. Wichtig ist, in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen — eine umgeformte Zeile könnte selbst schon den Fehler enthalten.
Im Ratgeber: Gleichungen lösen.