ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Lineare Funktionen
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Funktionswerte berechnen, die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten aufstellen, zwei Geraden schneiden.
Worum es geht
Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + b, ihr Graph ist eine Gerade. m ist die Steigung: Geht man eine Einheit nach rechts, steigt die Gerade um m (oder fällt, wenn m negativ ist). b ist der y-Achsenabschnitt, dort schneidet die Gerade die y-Achse. Zwei Punkte legen eine Gerade eindeutig fest, deshalb reichen sie, um m und b zu bestimmen.
Die Regeln
| Aufgabe | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Funktionswert | x einsetzen | f(x) = 2x − 1: f(3) = 5 |
| Steigung aus zwei Punkten | m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) | A(0|2), B(2|8): m = 6/2 = 3 |
| Achsenabschnitt | einen Punkt einsetzen: b = y₁ − m · x₁ | b = 2 − 3 · 0 = 2 |
| Schnittpunkt zweier Geraden | Terme gleichsetzen, x ausrechnen, in eine Gleichung einsetzen | x + 1 = −x + 5 → x = 2, y = 3 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Die Gerade geht durch P(1|5) und Q(4|−1). Gib die Funktionsgleichung an.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Steigung | m = (−1 − 5)/(4 − 1) = −6/3 = −2 | die Steigung ist Höhenunterschied pro Schritt nach rechts; beide Differenzen in derselben Reihenfolge Q minus P |
| 2 · Punkt einsetzen | 5 = −2 · 1 + b | P liegt auf der Geraden, seine Koordinaten müssen die Gleichung erfüllen |
| 3 · Nach b auflösen | b = 5 + 2 = 7 | nur noch b ist unbekannt |
| 4 · Gleichung | y = −2x + 7 | m und b in y = mx + b einsetzen |
Der typische Fehler
Differenzen in verschiedener Reihenfolge: m = (−1 − 5)/(1 − 4) = −6/(−3) = 2. Das fühlt sich richtig an, weil beide Rechnungen „einfach Differenzen“ sind. Oben wurde aber Q minus P gerechnet, unten P minus Q — dadurch dreht sich das Vorzeichen. Von P nach Q wird x größer und y kleiner, die Gerade fällt, m muss negativ sein.
So prüfst du dein Ergebnis
Den zweiten Punkt einsetzen. Die Gleichung wurde mit P aufgestellt, also prüfst du mit Q: −2 · 4 + 7 = −1. Stimmt. Zusätzlich das Vorzeichen von m mit einer kurzen Skizze vergleichen: fallende Gerade, negative Steigung.
Im Ratgeber: Lineare Funktionen.