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Prozentrechnung rückwärts
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Wie man vom Preis nach einer Änderung auf den Preis vorher zurückrechnet.
Worum es geht
Bei Prozentrechnung rückwärts kennt man das Ergebnis und sucht den Grundwert, also den Wert, der 100 % war: den Preis vor dem Rabatt, das Gehalt vor der Erhöhung, den Nettopreis ohne Steuer. Der Trick ist, zuerst zu klären, wie viel Prozent der bekannte Wert ist. Danach hilft der Dreisatz oder eine einzige Division.
Die Regeln
| Gegeben | Rechnung | Beispiel |
|---|---|---|
| Prozentwert und Prozentsatz | über 1 %: durch p teilen, mal 100 | 36 sind 24 %: 1 % = 1,5; 100 % = 150 |
| Wert nach Erhöhung um p % | durch (1 + p/100) teilen | nach +20 %: 72 € : 1,2 = 60 € |
| Wert nach Senkung um p % | durch (1 − p/100) teilen | nach −15 %: 68 € : 0,85 = 80 € |
| Ersparnis und Prozentsatz | die Ersparnis ist p % des alten Preises | 12 € sind 8 %: 1 % = 1,50 €; 100 % = 150 € |
| Zwei Änderungen | nacheinander rückwärts teilen, die letzte zuerst | erst +25 %, dann −10 % ergab 90 €: 90 : 0,9 = 100; 100 : 1,25 = 80 € |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Nach einem Rabatt von 35 % kostet ein Mantel 91 €. Wie viel hat er vorher gekostet?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Prozentsatz klären | 100 % − 35 % = 65 % | der alte Preis ist der Grundwert, also 100 %; nach dem Rabatt bleiben 65 % davon |
| 2 · Zuordnen | 65 % ≙ 91 € | jetzt kennt man einen Prozentsatz und den Betrag, der dazugehört |
| 3 · Auf 1 % | 1 % ≙ 91 € : 65 = 1,40 € | durch 65 teilen, um bei 1 % anzukommen |
| 4 · Auf 100 % | 100 % ≙ 1,40 € · 100 = 140 € | der Grundwert ist immer 100 % |
| 5 · In einem Schritt | 91 € : 0,65 = 140 € | dieselbe Rechnung, kürzer geschrieben |
Der typische Fehler
91 € + 35 % = 122,85 € — der Rabatt wird einfach wieder aufgeschlagen. Das fühlt sich richtig an, weil man abgezogene 35 % scheinbar durch 35 % dazu zurückholt. Aber die 35 % wurden vom alten Preis berechnet, nicht von 91 €. Probe: 35 % Rabatt auf 122,85 € ergeben 79,85 €, nicht 91 €. Der richtige alte Preis ist 140 €.
So prüfst du dein Ergebnis
Vorwärts nachrechnen. Setz dein Ergebnis in die ursprüngliche Aufgabe ein: 140 € mit 35 % Rabatt sind 140 € · 0,65 = 91 €. Genau der Preis aus der Aufgabe. Diese Probe dauert zehn Sekunden und entlarvt den typischen Fehler jedes Mal.
Im Ratgeber: Prozentrechnung mit dem Dreisatz.