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Gleichungen mit Klammern
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Hier steht, in welcher Reihenfolge man eine Gleichung mit Klammern löst. Wer zuerst sauber auflöst und dann umformt, braucht keine neuen Regeln.
Worum es geht
Eine Gleichung mit Klammern ist eine gewöhnliche lineare Gleichung, die noch verpackt ist. Man löst zuerst alle Klammern auf, fasst jede Seite für sich zusammen und formt dann um: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet, bis x allein steht. Stehen links und rechts Produkte zweier Klammern, fällt das x² beim Ausmultiplizieren meist auf beiden Seiten weg.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Klammern auflösen | jeder Summand wird mit dem Faktor multipliziert | 3(x − 2) = 3x − 6 |
| Minus vor der Klammer | alle Vorzeichen in der Klammer drehen | −(x + 4) = −x − 4 |
| Ordnen | auf beiden Seiten dasselbe addieren oder subtrahieren | 3x − 6 = x + 4 | −x |
| Isolieren | durch die Zahl vor x teilen | 2x = 10 | :2 → x = 5 |
| Zwei Klammern mal | ausmultiplizieren, x² auf beiden Seiten abziehen | (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse: 3(2x − 1) − (x + 4) = 2(x + 4)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Klammern auflösen | 6x − 3 − x − 4 = 2x + 8 | das Minus vor (x + 4) dreht beide Vorzeichen, die 2 rechts multipliziert beide Summanden |
| 2 · Seiten zusammenfassen | 5x − 7 = 2x + 8 | erst jede Seite vereinfachen, dann umformen: weniger Glieder, weniger Fehler |
| 3 · | −2x | 3x − 7 = 8 | alle x-Glieder auf eine Seite; dieselbe Rechnung auf beiden Seiten hält die Gleichung wahr |
| 4 · | +7 | 3x = 15 | die Zahlen auf die andere Seite |
| 5 · | :3 | x = 5 | durch den Faktor vor x teilen |
Der typische Fehler
Den Faktor vor der Klammer nur mit dem ersten Glied multiplizieren. Aus 2(x + 4) wird dann 2x + 4. Das fühlt sich richtig an, weil die 2 direkt vor dem x steht. Gemeint ist aber (x + 4) + (x + 4), also 2x + 8. Mit dem Fehler entsteht 5x − 7 = 2x + 4, also x = 11/3, und die Probe geht nicht auf.
So prüfst du dein Ergebnis
Einsetzen in die Ausgangsgleichung. Setze x = 5 in die Gleichung mit den Klammern ein, nicht in eine umgeformte Zeile, sonst übersiehst du einen Fehler beim Auflösen. Links: 3 · 9 − 9 = 27 − 9 = 18. Rechts: 2 · 9 = 18. Beide Seiten sind gleich, also ist x = 5 richtig.
Im Ratgeber: Gleichungen lösen.