ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Gleichungen mit Brüchen
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Hier steht, wie man Brüche in einer Gleichung mit einem einzigen Schritt loswird. Danach ist es eine gewöhnliche lineare Gleichung.
Worum es geht
Brüche stören beim Umformen. Man multipliziert deshalb die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner. Danach stehen nur noch ganze Zahlen da. Steht x selbst im Nenner, prüft man vorher, für welche x der Nenner null wird: Diese Werte gehören nicht zur Definitionsmenge und können keine Lösung sein. Die Lösung gibt man als gekürzten Bruch oder ganze Zahl an, etwa x = 7/3.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Hauptnenner finden | kgV aller Nenner | Nenner 3 und 4 → 12 |
| Mit dem Hauptnenner multiplizieren | jeden Summanden, auch die ohne Bruch | x/3 + 1 = x/4 | ·12 → 4x + 12 = 3x |
| Zähler als Ganzes | mehrgliedrige Zähler in Klammern setzen | (x + 1)/2 · 6 = 3(x + 1) |
| x im Nenner | zuerst die Definitionsmenge: Nenner ≠ 0 | 5/(x − 2): D = ℝ \ {2} |
| Lösung prüfen | eine Lösung muss in D liegen | x = 2 wäre ausgeschlossen |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse: (x + 1)/2 − (x − 2)/3 = 2
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Hauptnenner | kgV(2, 3) = 6 | mit 6 lassen sich beide Brüche kürzen |
| 2 · | ·6 | 3(x + 1) − 2(x − 2) = 12 | 6 : 2 = 3 und 6 : 3 = 2 bleiben als Faktoren; auch die 2 rechts wird mal 6 genommen |
| 3 · Klammern auflösen | 3x + 3 − 2x + 4 = 12 | das Minus vor dem Bruch gilt für den ganzen Zähler: −2 · (−2) = +4 |
| 4 · Zusammenfassen | x + 7 = 12 | x-Glieder und Zahlen jeweils zusammenziehen |
| 5 · | −7 | x = 5 | x steht allein |
Der typische Fehler
Die Zahl ohne Bruch nicht mit dem Hauptnenner multiplizieren. Dann bleibt rechts eine 2 stehen: 3x + 3 − 2x + 4 = 2, also x = −5. Das fühlt sich richtig an, weil man ja „die Brüche wegmultipliziert“ und die 2 gar keinen Bruch hat. Die Multiplikation ist aber eine Umformung der ganzen Gleichung und trifft jeden Summanden auf beiden Seiten. Die Probe entlarvt den Fehler: Für x = −5 ergibt die linke Seite −4/2 − (−7)/3 = −2 + 7/3 = 1/3, nicht 2.
So prüfst du dein Ergebnis
Einsetzen in die Gleichung mit den Brüchen. Für x = 5: (5 + 1)/2 − (5 − 2)/3 = 3 − 1 = 2. Das ist die rechte Seite, also stimmt die Lösung. Steht x im Nenner, prüfe zusätzlich, dass kein Nenner null wird.
Im Ratgeber: Gleichungen lösen.