ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Geradengleichung aus Punkt und Steigung
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 7/8
Hier steht, wie man die Gleichung einer Geraden aufstellt, wenn man einen Punkt und die Steigung oder zwei Punkte kennt. Das Ergebnis schreibt man immer in der Form y = mx + b.
Worum es geht
Jede nicht senkrechte Gerade hat eine Gleichung y = mx + b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt, also die Höhe, auf der die Gerade die y-Achse schneidet. Ist m bekannt, fehlt nur noch b. Weil jeder Punkt der Geraden die Gleichung erfüllt, setzt man einen Punkt ein und löst nach b auf.
Die Regeln
| Situation | Vorgehen | Beispiel |
|---|---|---|
| Normalform | y = mx + b, m Steigung, b y-Achsenabschnitt | y = 2x + 1 |
| m und ein Punkt | Punkt und m einsetzen, nach b auflösen | m = 2, P(3|5): 5 = 2 · 3 + b → b = −1 |
| zwei Punkte | erst m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), dann wie oben | A(1|1), B(3|5): m = 4/2 = 2 |
| parallel zu einer Geraden | deren Steigung übernehmen | parallel zu y = −x + 4: m = −1 |
| Gerade in der Form ax + by = c | erst nach y auflösen, dann m ablesen | 2x + y = 6 → y = −2x + 6 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(−1|7) und B(3|−1).
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Steigung | m = (−1 − 7)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2 | ohne m kann man b nicht bestimmen |
| 2 · Punkt einsetzen | 7 = −2 · (−1) + b | A liegt auf der Geraden, also erfüllt x = −1, y = 7 die Gleichung |
| 3 · Ausrechnen | 7 = 2 + b | minus mal minus ergibt plus |
| 4 · Nach b auflösen | b = 5 | auf beiden Seiten 2 abziehen |
| 5 · Gleichung | y = −2x + 5 | m und b in die Normalform |
Der typische Fehler
Beim Einsetzen x und y vertauschen. Wer aus A(−1|7) die 7 für x und die −1 für y nimmt, rechnet −1 = −2 · 7 + b und erhält b = 13. Das fühlt sich richtig an, weil man die erste Zahl des Punktes an die erste Stelle der Gleichung setzt. In y = mx + b steht aber y vorn, im Punkt steht x vorn. Die falsche Gerade y = −2x + 13 hat bei x = −1 den Wert 15, nicht 7.
So prüfst du dein Ergebnis
Den zweiten Punkt einsetzen. B(3|−1) wurde für b nicht benutzt, eignet sich also als unabhängige Probe: −2 · 3 + 5 = −6 + 5 = −1. Das ist der y-Wert von B, die Gleichung stimmt. Ist nur ein Punkt gegeben, setze ihn ein und prüfe außerdem, ob das Vorzeichen von m zur Aufgabe passt.
Im Ratgeber: Lineare Funktionen.