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Gemischte Zahlen

Mathematik · Klasse 6 · 6 Blätter · 75 Aufgaben

LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 5/6

Wie man zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen wechselt und mit beiden rechnet.

Worum es geht

Eine gemischte Zahl wie 2 3/4 besteht aus Ganzen und einem Bruchteil: 2 + 3/4. Derselbe Wert als unechter Bruch, also mit Zähler größer als Nenner, ist 11/4. Gemischte Zahlen sind gut zum Vorstellen, unechte Brüche gut zum Rechnen. Beim Addieren kann man Ganze und Brüche getrennt rechnen, beim Malnehmen und Teilen nicht.

Die Regeln

Aufgabe	Regel	Beispiel
Gemischt → unecht	Ganze mal Nenner plus Zähler; der Nenner bleibt	3 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5
Unecht → gemischt	Zähler durch Nenner mit Rest: das Ergebnis sind die Ganzen, der Rest ist der neue Zähler	23/6: 23 : 6 = 3 Rest 5 → 3 5/6
Addieren	Ganze und Brüche getrennt; wird der Bruchteil größer als 1, ein Ganzes abgeben	2 3/4 + 1 1/2 = 3 + 5/4 = 4 1/4
Ganze minus gemischte Zahl	ein Ganzes in Bruchteile umtauschen	5 − 1 2/3 = 4 3/3 − 1 2/3 = 3 1/3
Mal und geteilt	immer zuerst in unechte Brüche umwandeln	1 1/2 · 1 1/3 = 3/2 · 4/3 = 2

Beispiel, Schritt für Schritt

Aufgabe: 4 1/6 − 1 3/4

Schritt	Rechnung	Warum
1 · Gleichnamig machen	4 2/12 − 1 9/12	kgV(6, 4) = 12; nur die Bruchteile brauchen den gemeinsamen Nenner
2 · Bruchteile vergleichen	2/12 − 9/12 geht nicht	man würde unter null kommen, also braucht man mehr Zwölftel
3 · Ein Ganzes umtauschen	4 2/12 = 3 14/12	1 Ganzes = 12/12; 12/12 + 2/12 = 14/12, der Wert bleibt gleich
4 · Getrennt rechnen	Ganze: 3 − 1 = 2; Brüche: 14/12 − 9/12 = 5/12	jetzt gehen beide Rechnungen ohne Rest
5 · Ergebnis	2 5/12	ggT(5, 12) = 1, kürzen geht nicht

Der typische Fehler

2 1/2 · 2 1/2 = 4 1/4 — Ganze mal Ganze, Bruch mal Bruch. Das fühlt sich richtig an, weil beim Addieren das getrennte Rechnen ja funktioniert. Beim Malnehmen fehlen aber die gemischten Teile: Ein Quadrat mit Seite 2 1/2 besteht aus 2 · 2, zweimal 2 · 1/2 und 1/2 · 1/2. Richtig ist 5/2 · 5/2 = 25/4 = 6 1/4.

So prüfst du dein Ergebnis

Als Dezimalzahl nachrechnen. 4 1/6 ≈ 4,17 und 1 3/4 = 1,75; 4,17 − 1,75 = 2,42. Das Ergebnis 2 5/12 ist ungefähr 2,42. Passt. Außerdem gilt: In einer fertigen gemischten Zahl ist der Bruchteil immer kleiner als 1.

Erklärung Grundlagen 1 Grundlagen 2 Standard 1 Standard 2 Erweitert 1 Erweitert 2

Im Ratgeber: Bruchrechnen: die 4 Rechenarten.