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Formeln umstellen
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Umgang mit Größen · Ende Jg. 9/10
Hier steht, wie man eine Formel nach einer anderen Größe auflöst. Es ist dasselbe Verfahren wie beim Lösen einer Gleichung, nur mit Buchstaben statt Zahlen.
Worum es geht
Eine Formel wie s = v · t verbindet mehrere Größen. Umstellen heißt: Die gesuchte Größe soll allein auf einer Seite stehen. Alle anderen Buchstaben behandelt man dabei wie feste Zahlen. Man macht die Rechnungen, die mit der gesuchten Größe passiert sind, rückgängig, und zwar in umgekehrter Reihenfolge: Was zuletzt gerechnet wurde, wird zuerst aufgehoben.
Die Regeln
| Rechnung in der Formel | Umkehrung | Beispiel |
|---|---|---|
| plus | auf beiden Seiten subtrahieren | c = a + b → a = c − b |
| mal | auf beiden Seiten teilen | s = v · t → t = s/v |
| geteilt | auf beiden Seiten multiplizieren | ρ = m/V → m = ρ · V → V = m/ρ |
| Quadrat | zuletzt die Wurzel ziehen (bei positiven Größen) | A = π · r² → r = √(A/π) |
| mehrere Rechnungen | die zuletzt ausgeführte zuerst rückgängig machen | u = 2a + 2b: erst −2b, dann :2 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Stelle die Formel F = 1,8 · C + 32 nach C um.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Rechenweg von C lesen | C → mal 1,8 → plus 32 → F | so sieht man, welche Rechnungen rückgängig gemacht werden müssen |
| 2 · | −32 | F − 32 = 1,8 · C | die zuletzt ausgeführte Rechnung (+32) wird zuerst aufgehoben |
| 3 · | :1,8 | (F − 32)/1,8 = C | geteilt wird die ganze linke Seite, deshalb die Klammer |
| 4 · Seiten tauschen | C = (F − 32)/1,8 | die gesuchte Größe steht üblicherweise links |
Der typische Fehler
Die Klammer um den Zähler weglassen: C = F − 32/1,8. Das fühlt sich richtig an, weil auf dem Papier F − 32 über dem Bruchstrich steht und dort keine Klammer nötig ist. Schreibt man den Bruch in eine Zeile, gilt aber Punkt vor Strich: Dann wird nur die 32 geteilt. Für F = 212 ergibt die richtige Formel (212 − 32)/1,8 = 100, die falsche 212 − 32/1,8 ≈ 194,2.
So prüfst du dein Ergebnis
Ein bekanntes Zahlenpaar einsetzen. Wasser siedet bei 100 °C, das sind 1,8 · 100 + 32 = 212 °F. Setze F = 212 in deine umgestellte Formel ein: (212 − 32)/1,8 = 180/1,8 = 100. Kommt wieder der Ausgangswert heraus, ist die Umstellung richtig. Ohne bekannte Werte wählst du selbst einfache Zahlen und rechnest hin und zurück.
Im Ratgeber: Gleichungen lösen.