ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Kürzen & Erweitern
Mathematik · Klasse 6 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 5/6
Wie ein Bruch seinen Namen ändert, ohne seinen Wert zu ändern, und wie man ihn vollständig kürzt.
Worum es geht
Derselbe Anteil hat viele Namen: 3/4, 6/8 und 75/100 sind gleich viel. Erweitern macht Zähler und Nenner größer, Kürzen macht sie kleiner, der Wert bleibt jedes Mal gleich. Beim Erweitern wird jedes Stück in gleich viele kleinere Stücke zerschnitten. Man braucht beides: Kürzen für ein übersichtliches Ergebnis, Erweitern für gleiche Nenner und für Prozentzahlen.
Die Regeln
| Vorgang | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Erweitern | Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen | 3/4 = 15/20 (mit 5) |
| Kürzen | Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen | 18/30 = 3/5 (durch 6) |
| Vollständig kürzen | durch den ggT teilen; danach haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 | ggT(42, 56) = 14 → 42/56 = 3/4 |
| Auf einen bestimmten Nenner | Faktor = neuer Nenner : alter Nenner | 7/20 auf Nenner 100: 100 : 20 = 5 → 35/100 |
| Gemeinsamer Nenner | das kgV der Nenner | 5/6 und 3/8: kgV(6, 8) = 24 → 20/24 und 9/24 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Kürze vollständig: 84/126
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Durch 2 | 84/126 = 42/63 | beide Zahlen sind gerade |
| 2 · Durch 3 | 42/63 = 14/21 | Quersummen 6 und 9, beide durch 3 teilbar |
| 3 · Durch 7 | 14/21 = 2/3 | 14 und 21 stehen beide in der Siebenerreihe |
| 4 · Fertig? | ggT(2, 3) = 1 | 2 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, weiter geht es nicht |
| 5 · Abkürzung | 2 · 3 · 7 = 42 = ggT(84, 126) | wer den ggT gleich findet, kürzt in einem Schritt durch 42 |
Der typische Fehler
2/3 = 4/5, weil zu beiden Zahlen 2 addiert wurde — das fühlt sich richtig an, weil man „oben und unten dasselbe gemacht“ hat, und so klingt die Regel ja. Aber Addieren ändert den Anteil: 2/3 ist ungefähr 0,67, 4/5 ist 0,8. Nur Malnehmen und Teilen erhalten den Wert, denn nur sie zerschneiden jedes Stück in gleich viele Teile oder fassen gleich viele zusammen.
So prüfst du dein Ergebnis
Über Kreuz malnehmen. Zwei Brüche sind gleich, wenn Zähler des einen mal Nenner des anderen auf beiden Seiten dasselbe ergibt: 84 · 3 = 252 und 126 · 2 = 252. Gleich, also richtig gekürzt. Danach prüfen, ob Zähler und Nenner noch einen gemeinsamen Teiler haben.
Im Ratgeber: Bruchrechnen: die 4 Rechenarten.