ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Zinsrechnung & Zinseszins
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Jahreszinsen, Zinsen für einige Monate und Zinseszins — drei Formeln, die alle aus der Prozentrechnung kommen.
Worum es geht
Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit eigenen Namen: Das Kapital K ist der Grundwert, der Zinssatz p % gilt pro Jahr (p. a.), die Zinsen Z sind der Prozentwert. Liegt das Geld kürzer als ein Jahr, gibt es nur den passenden Teil der Jahreszinsen. Liegt es mehrere Jahre und die Zinsen bleiben auf dem Konto, werden im nächsten Jahr auch sie verzinst — das ist der Zinseszins.
Die Regeln
| Fall | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Jahreszinsen | Z = K · p/100 | 4000 € zu 3 %: Z = 120 € |
| Zinsen für m Monate | Z = K · p/100 · m/12 | 1200 € zu 2 % für 6 Monate: Z = 12 € |
| Zinseszins über n Jahre | Kₙ = K · qⁿ mit q = 1 + p/100 | 1000 € zu 5 % für 2 Jahre: 1000 · 1,05² = 1102,50 € |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: 2000 € werden 3 Jahre lang mit 2,5 % verzinst (Zinseszins). Endkapital?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Zinsfaktor | q = 1 + 2,5/100 = 1,025 | jedes Jahr wird das Kapital mit demselben Faktor vergrößert: 100 % plus 2,5 % |
| 2 · Faktor hoch n | 1,025³ = 1,076890625 | drei Jahre heißt dreimal mit 1,025 malnehmen |
| 3 · Mit dem Kapital multiplizieren | 2000 · 1,076890625 = 2153,78125 | q³ ist der Faktor, um den das Anfangskapital insgesamt wächst |
| 4 · Runden | K₃ ≈ 2153,78 € | Geldbeträge auf Cent, und erst ganz am Ende — gerundete Zwischenwerte verfälschen den Cent-Betrag |
Der typische Fehler
Zinseszins wie einfache Zinsen gerechnet: 2000 € · 2,5 % = 50 € pro Jahr, mal 3 Jahre = 150 €, also 2150 €. Das fühlt sich richtig an, weil der Zinssatz jedes Jahr derselbe ist. Der Betrag, auf den er angewendet wird, ist es aber nicht: Im zweiten Jahr werden 2050 € verzinst, im dritten 2101,25 €. Deshalb wächst das Kapital mit q³ und nicht um 3 · 50 €.
So prüfst du dein Ergebnis
Gegen die einfachen Zinsen vergleichen. Das Endkapital mit Zinseszins muss etwas über K + n · Z liegen, hier also knapp über 2150 €. 2153,78 € passt. Liegt dein Ergebnis darunter oder weit darüber — etwa bei 2000 · 1,25 —, stimmt der Zinsfaktor nicht.