ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Wurzeln & Radikanden
Mathematik · Klasse 9–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Zahlen · Jg. 7/8
Quadratwurzeln ziehen, Wurzeln teilweise vereinfachen und gleichartige Wurzeln addieren.
Worum es geht
Die Quadratwurzel √a ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst malgenommen a ergibt: √49 = 7, weil 7 · 7 = 49. Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand. Viele Wurzeln gehen nicht glatt auf; dann schreibt man sie so einfach wie möglich, indem man eine Quadratzahl aus dem Radikanden herauszieht. Wurzeln verhalten sich beim Malnehmen gutmütig, beim Addieren nicht.
Die Regeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Malnehmen | √a · √b = √(a · b) | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Teilweise Wurzelziehen | √(a² · b) = a√b | √12 = √(4 · 3) = 2√3 |
| Addieren | nur bei gleichem Radikanden: Vorfaktoren addieren | 3√2 + 5√2 = 8√2 |
| Nicht erlaubt | √(a + b) ist nicht √a + √b | √(9 + 16) = 5, nicht 7 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: √72 + √50
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Größte Quadratzahl in 72 | 72 = 36 · 2 → √72 = 6√2 | mit der größten Quadratzahl ist man in einem Schritt fertig; mit 4 · 18 müsste man √18 noch einmal zerlegen |
| 2 · Größte Quadratzahl in 50 | 50 = 25 · 2 → √50 = 5√2 | wieder bleibt 2 unter der Wurzel — so werden die Glieder gleichartig |
| 3 · Addieren | 6√2 + 5√2 = 11√2 | √2 ist hier wie eine Einheit: 6 Stück plus 5 Stück |
Der typische Fehler
√a + √b = √(a + b), hier also √72 + √50 = √122. Das fühlt sich richtig an, weil das Gesetz fürs Malnehmen, √a · √b = √(ab), genauso aussieht. Fürs Addieren gilt es nicht: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, aber √25 = 5. Addieren darf man Wurzeln erst, wenn sie denselben Radikanden haben.
So prüfst du dein Ergebnis
Mit dem Taschenrechner nähern. √72 + √50 ≈ 8,485 + 7,071 = 15,556, und 11√2 ≈ 11 · 1,414 = 15,556. Gleich, also stimmt die Vereinfachung. √122 ≈ 11,05 dagegen passt nicht — der Fehler wäre aufgefallen.