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Zehnerpotenzen & wissenschaftliche Schreibweise
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Wie man sehr große und sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen schreibt und mit ihnen rechnet.
Worum es geht
Sehr große und sehr kleine Zahlen haben so viele Nullen, dass man sich leicht verzählt. Die wissenschaftliche Schreibweise schreibt sie als Zahl zwischen 1 und 10 mal einer Zehnerpotenz: 45 300 = 4,53 · 10⁴. Der Exponent sagt, um wie viele Stellen das Komma verschoben wurde. Große Zahlen haben einen positiven, kleine Zahlen unter 1 einen negativen Exponenten.
Die Regeln
| Regel | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Form a · 10ⁿ | vor dem Komma genau eine Ziffer von 1 bis 9 | 4,53 · 10⁴, nicht 45,3 · 10³ |
| Große Zahlen | Komma nach links schieben; jede Stelle erhöht den Exponenten um 1 | 7 200 000 = 7,2 · 10⁶ |
| Kleine Zahlen | Komma nach rechts schieben; der Exponent wird negativ | 0,00036 = 3,6 · 10⁻⁴ |
| Malnehmen | Zahlen malnehmen, Exponenten addieren, dann in die Form bringen | (3 · 10⁴) · (5 · 10³) = 15 · 10⁷ = 1,5 · 10⁸ |
| Teilen | Zahlen teilen, Exponenten subtrahieren | (8 · 10⁹) : (2 · 10³) = 4 · 10⁶ |
| Addieren | erst auf dieselbe Zehnerpotenz bringen | 4,2 · 10⁵ + 3 · 10⁴ = 42 · 10⁴ + 3 · 10⁴ = 45 · 10⁴ = 4,5 · 10⁵ |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: (6,4 · 10⁻³) · (5 · 10⁸), Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Umordnen | (6,4 · 5) · (10⁻³ · 10⁸) | beim Malnehmen darf man die Faktoren beliebig umstellen |
| 2 · Zahlen | 6,4 · 5 = 32 | ganz normal rechnen |
| 3 · Potenzen | 10⁻³ · 10⁸ = 10⁵ | gleiche Basis: Exponenten addieren, −3 + 8 = 5 |
| 4 · Zwischenergebnis | 32 · 10⁵ | noch nicht fertig: 32 hat zwei Ziffern vor dem Komma |
| 5 · In die Form bringen | 32 · 10⁵ = 3,2 · 10⁶ | 3,2 ist zehnmal kleiner als 32, also muss die Potenz zehnmal größer werden: Exponent plus 1 |
Der typische Fehler
32 · 10⁵ = 3,2 · 10⁴ — der Exponent wird in die falsche Richtung geändert. Das fühlt sich richtig an, weil das Komma „nach links“ rückt und man „kleiner“ damit verbindet. Aber der Wert muss gleich bleiben: Wird die Zahl vorne zehnmal kleiner, muss die Zehnerpotenz zehnmal größer werden. 3,2 · 10⁴ = 32 000, gesucht ist 3 200 000 = 3,2 · 10⁶.
So prüfst du dein Ergebnis
Größenordnung mit normalen Zahlen prüfen. 6,4 · 10⁻³ ist etwa 0,006, und 5 · 10⁸ sind 500 Millionen. 0,006 · 500 000 000 = 3 000 000, also etwa 3 · 10⁶. Passt zu 3,2 · 10⁶. Zum Schluss die Form prüfen: genau eine Ziffer von 1 bis 9 vor dem Komma.