ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Winkelsummen in Dreieck & Vieleck
Mathematik · Klasse 7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Größen und Messen – Umgang mit Größen · Jg. 7/8
Eine Formel für jedes Vieleck und zwei Folgerungen daraus. Wer sie kennt, braucht keine einzelnen Zahlen für Viereck, Fünfeck oder Sechseck auswendig zu lernen.
Worum es geht
Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben immer 180°. Jedes Vieleck mit n Ecken lässt sich von einer Ecke aus in n − 2 Dreiecke zerlegen, deshalb ist seine Winkelsumme (n − 2) · 180°. Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Winkel gleich, man teilt also durch n.
Die Regeln
| Figur | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Dreieck | α + β + γ = 180° | α = 50°, β = 70° → γ = 60° |
| Viereck | 360° | (4 − 2) · 180° = 360° |
| n-Eck | (n − 2) · 180° | Sechseck: 4 · 180° = 720° |
| regelmäßiges n-Eck, Innenwinkel | (n − 2) · 180° : n | Sechseck: 720° : 6 = 120° |
| regelmäßiges n-Eck, Außenwinkel | 360° : n | Sechseck: 360° : 6 = 60° |
| Außenwinkel am Dreieck | gleich der Summe der beiden anderen Innenwinkel | α = 50°, β = 70° → Außenwinkel bei C = 120° |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Die Innenwinkel eines Fünfecks sind (2x + 10)°, (x + 50)°, (3x − 20)°, (x + 40)° und (2x + 10)°. Bestimme x.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Winkelsumme | (5 − 2) · 180° = 540° | ein Fünfeck zerfällt in drei Dreiecke |
| 2 · x-Glieder sammeln | 2x + x + 3x + x + 2x = 9x | alle Winkel zusammen ergeben die Summe, also werden alle Terme addiert |
| 3 · Zahlen sammeln | 10 + 50 − 20 + 40 + 10 = 90 | das Minus gehört zur 20 und bleibt erhalten |
| 4 · Gleichung lösen | 9x + 90 = 540 → 9x = 450 → x = 50 | erst die 90 abziehen, dann durch 9 teilen |
| 5 · Winkel ausrechnen | 110°, 100°, 130°, 90°, 110° | zeigt, ob die Lösung zu einem echten Fünfeck passt |
Der typische Fehler
Den Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks mit 360° : n berechnen. Beim Sechseck kommt dann 60° heraus. Das wirkt richtig, weil 360° die bekannte Zahl „einmal ganz herum“ ist. Aber 360° : n ist der Außenwinkel. Der Innenwinkel ist 180° minus Außenwinkel, beim Sechseck also 120°. Ein regelmäßiges Sechseck hat sichtbar stumpfe Ecken, 60° kann nicht stimmen.
So prüfst du dein Ergebnis
Winkel einsetzen und addieren. 110 + 100 + 130 + 90 + 110 = 540. Passt. Außerdem muss jeder Innenwinkel eines gewöhnlichen Vielecks zwischen 0° und 180° liegen; ein negativer Winkel oder einer über 180° verrät einen Rechenfehler.