ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Winkel an Geraden
Mathematik · Klasse 6–7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Größen und Messen – Umgang mit Größen · Jg. 7/8
Alles, was man vor dem ersten Arbeitsblatt braucht. Wer weiß, welche Winkel gleich groß sind und welche sich zu 180° ergänzen, kann fast jede Aufgabe mit einer einzigen Subtraktion lösen.
Worum es geht
Wo sich Geraden schneiden, entstehen Winkel, die nicht unabhängig voneinander sind. Kennt man einen Winkel, kennt man meist alle: Sie sind entweder gleich groß oder ergänzen sich zu 180°. Die Aufgabe ist also immer, die Lage der beiden Winkel richtig zu erkennen.
Die Regeln
| Winkelpaar | Lage | Beziehung |
|---|---|---|
| gestreckter Winkel / Vollwinkel | Winkel nebeneinander an einer Geraden / rund um einen Punkt | zusammen 180° / 360° |
| Nebenwinkel | liegen nebeneinander, teilen sich einen Schenkel | zusammen 180° |
| Scheitelwinkel | liegen sich am Schnittpunkt gegenüber | gleich groß |
| Stufenwinkel | an zwei Parallelen, gleiche Lage zu s und zur Parallelen | gleich groß |
| Wechselwinkel | an zwei Parallelen, über Kreuz: einer oberhalb seiner Parallelen, einer unterhalb, auf verschiedenen Seiten von s | gleich groß |
| Nachbarwinkel | an zwei Parallelen, gleiche Seite von s, zwischen den Parallelen | zusammen 180° |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: g und h sind parallel, g liegt oberhalb von h. Die Gerade s schneidet beide. Am Schnittpunkt mit g liegt oberhalb von g und rechts von s der Winkel α = 65°. Wie groß ist der Winkel am Schnittpunkt mit h, der unterhalb von h und rechts von s liegt?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Stufenwinkel suchen | bei h: oberhalb von h, rechts von s → 65° | dieselbe Lage an der anderen Parallelen; Parallelen schneiden s unter gleichem Winkel |
| 2 · Lage vergleichen | gesucht: unterhalb statt oberhalb, Seite von s gleich | nur eine der beiden Angaben hat sich geändert |
| 3 · Nebenwinkel | 180° − 65° = 115° | die beiden Winkel teilen sich den rechten Teil von h und liegen zusammen an der Geraden s |
Der typische Fehler
Stufenwinkel nur nach der Seite von s wählen. Beide Winkel liegen rechts von s, also scheinen sie „an der gleichen Stelle“ zu sein, und man schreibt 65°. Das fühlt sich richtig an, weil man die Seite von s gut sieht. Für Stufenwinkel muss aber beides stimmen: die Seite von s und die Seite der Parallelen. Ändert sich genau eine Angabe, ist es der Nebenwinkel, also 180° − α.
So prüfst du dein Ergebnis
Es gibt nur zwei Größen. An zwei Parallelen mit einer schrägen Geraden kommen nur α und 180° − α vor. Ist α spitz, muss der gesuchte Winkel sichtbar spitz oder sichtbar stumpf sein; 115° ist stumpf, und der Winkel unterhalb von h rechts von s öffnet sich tatsächlich weit. Ein drittes Ergebnis wie 25° kann nicht stimmen.