ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mathematik · Klasse 7–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Daten und Zufall – Umgang mit dem Zufall · Jg. 7/8Hessen: Daten und Zufall – Umgang mit dem Zufall · Jg. 9/10
Laplace-Wahrscheinlichkeit und zweistufige Zufallsversuche mit und ohne Zurücklegen.
Worum es geht
Sind alle Ergebnisse eines Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Anteil der günstigen Ergebnisse an allen: P = günstige : mögliche. Bei zwei Zügen nacheinander zeichnet man einen Baum. Entscheidend ist, ob die erste Kugel zurückgelegt wird — davon hängt ab, wie die Urne beim zweiten Zug aussieht.
Die Regeln
| Fall | Regel | Beispiel (3 rot, 2 blau) |
|---|---|---|
| Ein Zug | P = günstige / mögliche | P(rot) = 3/5 |
| Pfadregel | entlang eines Pfades malnehmen | P(rot, dann blau) = Produkt der Äste |
| Mit Zurücklegen | die Urne bleibt gleich, die Äste auch | P(beide rot) = 3/5 · 3/5 = 9/25 |
| Ohne Zurücklegen | beim zweiten Zug eine Kugel weniger, von der gezogenen Farbe auch | P(beide rot) = 3/5 · 2/4 = 3/10 |
| Summenregel | Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade addieren | P(gleiche Farbe) = P(rr) + P(bb) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Urne mit 3 roten, 2 blauen, 1 grünen Kugel. Zwei Kugeln ohne Zurücklegen. P(beide rot)?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Erster Zug | P(rot) = 3/6 | 3 von 6 Kugeln sind rot |
| 2 · Zweiter Zug | P(rot im 2. Zug) = 2/5 | eine rote Kugel fehlt jetzt: noch 2 rote von 5 Kugeln |
| 3 · Pfadregel | 3/6 · 2/5 = 6/30 | beide Dinge müssen nacheinander eintreten; der zweite Anteil wird vom ersten genommen |
| 4 · Kürzen | 6/30 = 1/5 | Ergebnis als gekürzter Bruch, das sind 20 % |
Der typische Fehler
Ohne Zurücklegen, aber mit unveränderter Urne gerechnet: 3/6 · 3/6 = 1/4. Das fühlt sich richtig an, weil die Urne „dieselbe“ ist und die Aufgabe ähnlich aussieht wie mit Zurücklegen. Nach dem ersten Zug liegen aber nur noch 5 Kugeln darin, davon 2 rote. Der zweite Ast heißt deshalb 2/5, nicht 3/6.
So prüfst du dein Ergebnis
Grenzen und Vergleich. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1. Ziehst du zweimal dieselbe Farbe, ist die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen immer kleiner als mit — hier 1/5 gegen 1/4. Und alle Pfade eines Baums zusammen ergeben genau 1.