ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Vierfeldertafel & bedingte Wahrscheinlichkeit
Mathematik · Klasse 10–12 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Daten und Zufall – Umgang mit dem Zufall · Jg. 7/8Hessen: Q3.1 Grundlegende Begriffe und Methoden der Stochastik
Eine Tabelle mit vier Feldern und ihren Summen beantwortet fast jede Frage zu zwei Merkmalen. Entscheidend ist, durch welche Zahl man teilt.
Worum es geht
Zwei Merkmale A und B teilen eine Gruppe in vier Felder: A und B, A ohne B, B ohne A, keins von beiden. Dazu kommen Zeilen- und Spaltensummen. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A), oft auch P(A | B) geschrieben, fragt: Wie groß ist der Anteil von A innerhalb der Gruppe B?
Die Regeln
| Frage | Rechnung | Hinweis |
|---|---|---|
| P(A ∩ B) | Feld „A und B“ : Gesamtzahl | bezogen auf alle |
| PB(A) | Feld „A und B“ : Summe der Spalte B | bezogen nur auf B |
| PA(B) | Feld „A und B“ : Summe der Zeile A | andere Bedingung, anderer Nenner |
| allgemein | PB(A) = P(A ∩ B) : P(B) | dieselbe Rechnung mit Wahrscheinlichkeiten |
| unabhängig | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) | sonst abhängig |
| Prozentangaben | mit 10 000 Personen eine Tafel aus Anzahlen bauen | Anzahlen sind leichter zu lesen als Produkte |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: 2 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test ist bei 95 % der Erkrankten positiv, aber auch bei 4 % der Gesunden. Wie wahrscheinlich ist eine positiv getestete Person erkrankt? (in %, 1 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Grundgesamtheit | 10 000 Personen: 200 krank, 9 800 gesund | 2 % von 10 000; mit Anzahlen statt Prozenten rechnen |
| 2 · Kranke aufteilen | 95 % von 200 = 190 positiv, 10 negativ | die 95 % gelten nur innerhalb der Kranken |
| 3 · Gesunde aufteilen | 4 % von 9 800 = 392 positiv, 9 408 negativ | die 4 % gelten nur innerhalb der Gesunden |
| 4 · Bedingung | positiv insgesamt: 190 + 392 = 582 | gefragt ist nur nach den positiv Getesteten |
| 5 · Anteil | 190 : 582 ≈ 0,326 = 32,6 % | Feld „krank und positiv“ durch die Spalte „positiv“ |
Der typische Fehler
Pkrank(positiv) und Ppositiv(krank) verwechseln. „Der Test erkennt 95 % der Kranken, also ist ein positiv Getesteter zu 95 % krank.“ Beide Sätze handeln von denselben Merkmalen, deshalb klingen sie gleich. Aber die Bezugsgruppe ist eine andere: 190 von 200 Kranken gegenüber 190 von 582 positiv Getesteten. Weil es so viele Gesunde gibt, sind ihre 4 % Fehlalarme mehr als die echten Treffer.
So prüfst du dein Ergebnis
Tafel summieren. 190 + 10 + 392 + 9 408 = 10 000. Passt. Dann prüfen, ob der Nenner genau die Gruppe hinter dem Wort „unter“ oder „von den“ in der Frage ist.