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Im Verhältnis aufteilen
Mathematik · Klasse 7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Wie man eine Menge gerecht nach einem Verhältnis wie 2 : 3 aufteilt.
Worum es geht
Ein Verhältnis wie 2 : 3 vergleicht zwei Anteile miteinander: Der Erste bekommt 2 Portionen, der Zweite 3, alle Portionen sind gleich groß. Es sagt nicht, wie viel jeder bekommt, sondern nur, wie die Teile zueinander stehen. Der Schlüssel ist immer dieselbe Frage: Wie groß ist ein Teil?
Die Regeln
| Aufgabe | Vorgehen | Beispiel |
|---|---|---|
| Aufteilen | Teile zählen, 1 Teil = Gesamt : Anzahl der Teile, dann malnehmen | 84 € im Verhältnis 3 : 4: 7 Teile, 1 Teil = 12 €; 36 € und 48 € |
| Ein Anteil bekannt | aus dem bekannten Anteil einen Teil ausrechnen | 3 : 5, der Zweite bekommt 40 €: 1 Teil = 8 €; zusammen 8 Teile = 64 € |
| Unterschied bekannt | der Unterschied ist (a − b) Teile | 5 : 2, Unterschied 21 €: 3 Teile = 21 €, 1 Teil = 7 € |
| Vereinfachen | beide Seiten mit derselben Zahl malnehmen oder durch dieselbe teilen | 1,5 : 2,5 = 15 : 25 = 3 : 5 |
| Brüche im Verhältnis | auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann die Zähler nehmen | 1/2 : 1/3 = 3/6 : 2/6 = 3 : 2 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Lena, Tim und Mia teilen 180 € im Verhältnis 2 : 3 : 4. Wie viel bekommt Mia?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Teile zählen | 2 + 3 + 4 = 9 Teile | das Verhältnis zählt Portionen, keine Euro |
| 2 · Ein Teil | 180 € : 9 = 20 € | alle 9 Portionen zusammen sind das ganze Geld |
| 3 · Mias Anteil | 4 · 20 € = 80 € | Mia steht an dritter Stelle, sie bekommt 4 Portionen |
| 4 · Probe | 40 € + 60 € + 80 € = 180 € | alle Anteile zusammen müssen wieder das Ganze ergeben |
Der typische Fehler
3 : 4 heißt, der Erste bekommt 3/4 vom Ganzen — bei 84 € also 63 €. Das fühlt sich richtig an, weil 3 : 4 aussieht wie der Bruch 3/4. Aber das Verhältnis vergleicht die beiden Anteile miteinander, nicht einen Anteil mit dem Ganzen. Das Ganze hat 3 + 4 = 7 Teile, der Erste bekommt 3/7 davon, also 36 €. Mit 63 € bliebe für den Zweiten nur 21 €, obwohl er mehr bekommen soll.
So prüfst du dein Ergebnis
Zwei Proben. Erstens müssen alle Anteile zusammen das Ganze ergeben: 40 + 60 + 80 = 180. Zweitens müssen die Anteile im richtigen Verhältnis stehen: 40 : 60 : 80, alles durch 20 geteilt, gibt 2 : 3 : 4. Stimmen beide, stimmt die Aufteilung.