ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Sinus- & Kosinusfunktion
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10Hessen: E.5 Trigonometrische Funktionen
Hier steht, wie man an f(x) = a · sin(bx) + d Amplitude, Periode und Wertemenge abliest, im Gradmaß und im Bogenmaß.
Worum es geht
Sinus und Kosinus beschreiben Schwingungen. Die Grundfunktionen sin(x) und cos(x) schwanken zwischen −1 und 1 und wiederholen sich alle 360°, im Bogenmaß alle 2π. In f(x) = a · sin(bx) + d verändern drei Zahlen dieses Bild: |a| ist die Amplitude, also wie weit der Graph von der Mittellinie ausschlägt. b bestimmt die Periode, also wie schnell sich alles wiederholt. d hebt die Mittellinie nach oben oder unten. Für den Kosinus gilt alles genauso.
Die Regeln
| Größe | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Amplitude | |a|, immer positiv | −3 · sin(x): Amplitude 3 |
| Periode im Gradmaß | p = 360°/b | sin(4x): p = 90° |
| Periode im Bogenmaß | p = 2π/b | sin(4x): p = π/2 |
| Wertemenge | W = [d − |a|; d + |a|] | 2 · cos(x) + 1: W = [−1; 3] |
| Sonderwerte | sin 30° = 1/2, sin 90° = 1, cos 60° = 1/2, cos 180° = −1 | sin 270° = −1 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Gegeben ist f(x) = −3 · sin(2x) + 1 (x in Grad). Bestimme Amplitude, Periode, Wertemenge und f(45°).
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ablesen | a = −3, b = 2, d = 1 | die drei Stellschrauben der Form a · sin(bx) + d |
| 2 · Amplitude | |−3| = 3 | ein Abstand ist nie negativ; das Minus spiegelt den Graphen nur an der Mittellinie |
| 3 · Periode | 360°/2 = 180° | der Faktor 2 lässt die Schwingung doppelt so schnell laufen, eine Wiederholung dauert halb so lang |
| 4 · Wertemenge | W = [1 − 3; 1 + 3] = [−2; 4] | sin schwankt zwischen −1 und 1, mal 3 und plus 1 |
| 5 · Funktionswert | f(45°) = −3 · sin(90°) + 1 = −3 + 1 = −2 | erst 2 · 45° = 90° bilden, dann den Sinus |
Der typische Fehler
Die Periode mit b multiplizieren statt durch b zu teilen. Für sin(2x) schreiben dann viele 720°. Das fühlt sich richtig an, weil die 2 nach „doppelt“ aussieht und man das Doppelte von 360° nimmt. Tatsächlich erreicht 2x den Wert 360° aber schon bei x = 180°: Die Schwingung läuft doppelt so schnell, eine Periode ist also halb so lang.
So prüfst du dein Ergebnis
f(0) und f(p) vergleichen, Grenzen der Wertemenge suchen. Nach einer Periode muss derselbe Wert wiederkommen: f(0) = −3 · sin(0°) + 1 = 1 und f(180°) = −3 · sin(360°) + 1 = 1. Außerdem sollte ein Randwert der Wertemenge tatsächlich erreicht werden: f(45°) = −2 ist die untere Grenze von [−2; 4].