ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Mathematik · Klasse 9–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Raum und Form – Beziehungen zwischen geometrischen Objekten · Jg. 9/10
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck: eine Seite aus Winkel und Seite, einen Winkel aus zwei Seiten.
Worum es geht
Im rechtwinkligen Dreieck hängen die Winkel und die Seitenverhältnisse fest zusammen. Von einem spitzen Winkel α aus gesehen liegt die Gegenkathete gegenüber, die Ankathete liegt am Winkel an, die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel. Sinus, Kosinus und Tangens sind die Namen für drei dieser Verhältnisse. Der Taschenrechner kennt sie für jeden Winkel — und rechnet mit den Umkehrfunktionen vom Verhältnis zurück zum Winkel.
Die Regeln
| Funktion | Verhältnis | Beispiel |
|---|---|---|
| sin α | Gegenkathete : Hypotenuse | c = 20 cm, α = 30°: a = 20 · sin 30° = 10 cm |
| cos α | Ankathete : Hypotenuse | cos 60° = 0,5 |
| tan α | Gegenkathete : Ankathete | tan 45° = 1 |
| Winkel gesucht | Umkehrfunktion: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ | tan α = 1 → α = 45° |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Gegenkathete 7 cm, Ankathete 10 cm. Berechne den Winkel α. (1 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Seiten zuordnen | Gegenkathete und Ankathete gegeben | die Hypotenuse kommt nicht vor, also weder sin noch cos |
| 2 · Verhältnis | tan α = 7/10 = 0,7 | tan ist das Verhältnis genau dieser beiden Seiten |
| 3 · Umkehrfunktion | α = tan⁻¹(0,7) ≈ 34,99° | tan⁻¹ beantwortet die Frage: Zu welchem Winkel gehört dieses Verhältnis? |
| 4 · Runden | α ≈ 35,0° | die Aufgabe verlangt eine Nachkommastelle, die Null gehört dazu |
Der typische Fehler
Taschenrechner im Bogenmaß: sin(30) ergibt dann −0,988 statt 0,5. Das fühlt sich richtig an, weil der Rechner ohne Warnung eine Zahl liefert. Er versteht die 30 aber als 30 Radiant, nicht als 30°. Achte vor jeder Rechnung darauf, dass im Display DEG oder D steht. Ein negativer Sinus bei einem Winkel im Dreieck ist das sichere Zeichen für diesen Fehler.
So prüfst du dein Ergebnis
Plausibilität am Dreieck. Sinus und Kosinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck liegen zwischen 0 und 1. Ist die Gegenkathete kürzer als die Ankathete, ist tan α kleiner als 1 und der Winkel kleiner als 45°. Hier: 7 < 10 und 35,0° < 45°. Passt.