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Terme vereinfachen
Mathematik · Klasse 7–8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Zusammenfassen, Klammern auflösen, zwei Klammern ausmultiplizieren — und die Probe, mit der man jeden Term selbst kontrolliert.
Worum es geht
Ein Term ist ein Rechenausdruck mit Variablen, zum Beispiel 3x + 5. Vereinfachen heißt, ihn kürzer zu schreiben, ohne seinen Wert zu ändern: Für jede Zahl, die man für x einsetzt, müssen alter und neuer Term dasselbe ergeben. Zusammenfassen darf man nur gleichartige Glieder — x mit x, x² mit x², Zahlen mit Zahlen.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Zusammenfassen | nur gleichartige Glieder addieren, das Vorzeichen gehört zum Glied | 3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 4 |
| Minusklammer | Klammer weg, jedes Vorzeichen darin umdrehen | −(2x − 3) = −2x + 3 |
| Faktor · Klammer | der Faktor wird mit jedem Glied der Klammer malgenommen | 4(2x − 3) = 8x − 12 |
| Klammer · Klammer | jedes Glied mit jedem, dann zusammenfassen | (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: −3(2x − 5) + 4x
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Klammer auflösen | −3 · 2x = −6x · −3 · (−5) = +15 | die −3 trifft jedes Glied der Klammer, mitsamt dessen Vorzeichen |
| 2 · Aufschreiben | −6x + 15 + 4x | erst alles ohne Klammer hinschreiben, dann ordnen — so geht kein Glied verloren |
| 3 · Gleichartige sammeln | −6x + 4x = −2x | x-Glieder sind gleichartig, die 15 bleibt für sich |
| 4 · Ergebnis | −2x + 15 | nichts mehr gleichartig — fertig |
Der typische Fehler
Nur das erste Glied bekommt das Minus: −3(2x − 5) = −6x − 15. Das fühlt sich richtig an, weil das Minus scheinbar „vorne“ steht und die −5 schon ein Minus hat. Der Faktor −3 wird aber auch mit −5 multipliziert, und minus mal minus ist plus: +15. Die Probe mit x = 1 zeigt es: −3(2 − 5) = 9, aber −6 − 15 = −21.
So prüfst du dein Ergebnis
Eine Zahl einsetzen. Setze x = 1 in den Ausgangsterm und in dein Ergebnis ein. Ausgang: −3(2 − 5) + 4 = 9 + 4 = 13. Ergebnis: −2 + 15 = 13. Gleich — also stimmt die Umformung. Die Zahlen 0 und 1 decken manche Fehler nicht auf; bei Zweifel zusätzlich x = 2 nehmen.