ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Teiler, Vielfache, Primzahlen
Mathematik · Klasse 5–6 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Zahlen · Jg. 5/6
Teiler finden, Primzahlen erkennen, ggT und kgV bestimmen — mit der Primfaktorzerlegung als Werkzeug für alles.
Worum es geht
Eine Zahl t ist Teiler von n, wenn n : t ohne Rest aufgeht; n ist dann ein Vielfaches von t. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, 1 und sich selbst (2, 3, 5, 7, 11, …); die 1 ist keine Primzahl. Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Aus dieser Zerlegung liest man den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache ab.
Die Regeln
| Aufgabe | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Alle Teiler | in Paaren suchen: 1 · n, 2 · …, bis sich die Paare treffen | 30: 1·30, 2·15, 3·10, 5·6 |
| Primfaktorzerlegung | so lange durch Primzahlen teilen, bis 1 übrig bleibt | 60 = 2² · 3 · 5 |
| ggT | gemeinsame Primfaktoren, jeweils mit dem kleineren Exponenten | ggT(20, 30) = 2 · 5 = 10 |
| kgV | alle Primfaktoren, jeweils mit dem größeren Exponenten | kgV(20, 30) = 2² · 3 · 5 = 60 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: ggT(24, 36) und kgV(24, 36)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Zerlegen | 24 = 2³ · 3 · 36 = 2² · 3² | in Primfaktoren sieht man, was die Zahlen gemeinsam haben |
| 2 · ggT | 2² · 3 = 12 | ein gemeinsamer Teiler darf nur so viele Zweien enthalten, wie beide Zahlen haben: 36 hat nur zwei |
| 3 · kgV | 2³ · 3² = 72 | ein gemeinsames Vielfaches muss alle Faktoren beider Zahlen enthalten: drei Zweien von 24, zwei Dreien von 36 |
Der typische Fehler
kgV = a · b: kgV(24, 36) = 864. Das fühlt sich richtig an, weil das Produkt tatsächlich durch beide Zahlen teilbar ist. Es ist aber nur ein gemeinsames Vielfaches, nicht das kleinste: Die Faktoren, die beide Zahlen teilen, stecken darin doppelt. Richtig ist kgV = a · b : ggT = 864 : 12 = 72.
So prüfst du dein Ergebnis
ggT mal kgV gleich a mal b. 12 · 72 = 864 und 24 · 36 = 864. Stimmt. Außerdem muss der ggT beide Zahlen teilen (24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3) und das kgV durch beide teilbar sein (72 : 24 = 3, 72 : 36 = 2).