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Teilbarkeitsregeln
Mathematik · Klasse 5–6 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Zahlen · Jg. 5/6
Wie man einer Zahl ansieht, ob sie durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 oder 25 teilbar ist, ohne zu teilen.
Worum es geht
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt. Die Teilbarkeitsregeln prüfen das, ohne dass man die Division ausrechnet: Man schaut nur auf die letzten Ziffern oder auf die Quersumme, die Summe aller Ziffern. Für Teiler wie 6 oder 12 kombiniert man zwei Regeln.
Die Regeln
| Teiler | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | letzte Ziffer gerade (0, 2, 4, 6, 8) | 3 574: 4 gerade → ja |
| 5 und 10 | letzte Ziffer 0 oder 5; für 10 nur 0 | 6 285: durch 5 ja, durch 10 nein |
| 3 und 9 | Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar | 7 452: 7 + 4 + 5 + 2 = 18 → durch 3 und durch 9 |
| 4 und 25 | letzte zwei Ziffern durch 4 bzw. 25 teilbar | 9 316: 16 ist durch 4 teilbar → ja |
| 8 | letzte drei Ziffern durch 8 teilbar | 5 120: 120 = 8 · 15 → ja |
| 6, 12, 15, 18, 36, 45 | in zwei Teiler ohne gemeinsamen Faktor zerlegen, beide Regeln prüfen | 12 = 3 · 4; 18 = 2 · 9; 45 = 5 · 9 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Ist 43 128 durch 12 teilbar?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Teiler zerlegen | 12 = 3 · 4 | für 12 gibt es keine eigene Regel; 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1 |
| 2 · Regel für 3 | Quersumme 4 + 3 + 1 + 2 + 8 = 18; 18 : 3 = 6 ✓ | 10, 100, 1 000 lassen beim Teilen durch 3 den Rest 1, deshalb zählt nur die Summe der Ziffern |
| 3 · Regel für 4 | letzte zwei Ziffern 28 = 4 · 7 ✓ | 100 ist durch 4 teilbar, also auch alles vor den letzten zwei Ziffern |
| 4 · Antwort | ja | durch 3 und durch 4 teilbar heißt durch 3 · 4 = 12 teilbar |
Der typische Fehler
12 = 2 · 6, also prüfe ich 2 und 6 — das fühlt sich richtig an, denn 2 · 6 ist ja 12. Aber 2 und 6 haben den gemeinsamen Faktor 2, und dann funktioniert der Trick nicht: 18 ist durch 2 und durch 6 teilbar, aber nicht durch 12. Die beiden Teiler dürfen außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, deshalb 12 = 3 · 4.
So prüfst du dein Ergebnis
Probe durch Teilen. Bei „ja“ muss die Division ohne Rest aufgehen: 43 128 : 12 = 3 594, denn 3 594 · 12 = 43 128. Bei „nein“ muss ein Rest bleiben. Für die Probe reicht auch ein Teil: 128 : 4 = 32 zeigt, dass die Viererregel richtig angewandt war.