ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Tangentengleichung
Mathematik · Klasse 11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.2 Einführung des Ableitungsbegriffs
Eine Tangente ist eine Gerade y = mx + b. Die Ableitung liefert m, der Berührpunkt liefert b.
Worum es geht
Die Tangente im Punkt P(x₀ | f(x₀)) berührt den Graphen von f dort und hat dieselbe Steigung wie der Graph. Diese Steigung ist f′(x₀). Die Normale steht im selben Punkt senkrecht auf der Tangente.
Die Regeln
| Aufgabe | Rechnung | Hinweis |
|---|---|---|
| Steigung | m = f′(x₀) | erst ableiten, dann x₀ einsetzen |
| y-Achsenabschnitt | b = f(x₀) − m · x₀ | P in y = mx + b einsetzen und nach b auflösen |
| Punkt-Steigungs-Form | y = f′(x₀) · (x − x₀) + f(x₀) | gleiches Ergebnis in einem Schritt |
| Normale | m_n = −1 / f′(x₀) | nur wenn f′(x₀) ≠ 0 |
| Tangente parallel zu y = mx + c | f′(x) = m lösen | liefert die Berührstelle x₀ |
| Schnitt mit der x-Achse | y = 0 setzen | x = −b / m |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: f(x) = x² − 3x + 1. Bestimme die Tangente an der Stelle x₀ = 2.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Punkt | f(2) = 4 − 6 + 1 = −1 → P(2 | −1) | die Tangente muss durch diesen Punkt gehen |
| 2 · Ableitung | f′(x) = 2x − 3 | Potenzregel für jeden Summanden |
| 3 · Steigung | m = f′(2) = 1 | die Steigung des Graphen genau an der Stelle 2 |
| 4 · Achsenabschnitt | b = −1 − 1 · 2 = −3 | aus −1 = 1 · 2 + b |
| 5 · Gleichung | y = x − 3 | m und b in y = mx + b |
Der typische Fehler
b = f(x₀) setzen. Man schreibt y = x − 1, weil −1 „der y-Wert“ ist und b auch „der y-Wert“ heißt. Aber b ist der y-Wert an der Stelle x = 0, f(x₀) der y-Wert an der Stelle x₀ = 2. Nur wenn x₀ = 0 ist, stimmen beide überein. Die Gerade y = x − 1 geht durch (2 | 1), nicht durch P.
So prüfst du dein Ergebnis
P einsetzen und Differenz ansehen. y = 2 − 3 = −1. Die Tangente geht durch P. Außerdem ist f(x) − (x − 3) = x² − 4x + 4 = (x − 2)²: eine doppelte Nullstelle bei x₀ = 2. Genau das bedeutet „berühren“.