ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Strahlensätze
Mathematik · Klasse 9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Raum und Form – Beziehungen zwischen geometrischen Objekten · Jg. 7/8
Zwei Sätze, eine Figur, eine Verhältnisgleichung. Der einzige Stolperstein ist, welche Strecken man ins Verhältnis setzen darf.
Worum es geht
Zwei Strahlen beginnen im Punkt Z und werden von zwei parallelen Geraden geschnitten: in A und B nah an Z, in A′ und B′ weiter weg. Die große Figur ist dann eine vergrößerte Kopie der kleinen, und alle passenden Strecken stehen im selben Verhältnis. In der X-Figur liegt Z zwischen den Parallelen; die Sätze gelten dort genauso.
Die Regeln
| Satz | Verhältnis | Wann |
|---|---|---|
| 1. Strahlensatz | ZA′ : ZA = ZB′ : ZB | nur Strecken auf den Strahlen |
| 1. Strahlensatz, Teilstrecken | AA′ : ZA = BB′ : ZB | auch Abschnitte auf den Strahlen sind erlaubt |
| 2. Strahlensatz | A′B′ : AB = ZA′ : ZA | Parallelstrecken, aber nur mit Strecken ab Z |
| X-Figur | A′B′ : AB = ZA′ : ZA = ZB′ : ZB | Z zwischen A und A′; BB′ = ZB + ZB′ |
| Schatten | Höhe : Schatten ist für Stab und Baum gleich | Sonnenstrahlen sind parallel |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: ZA = 4 cm, AA′ = 2 cm, AB = 3 cm. Berechne A′B′.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Satz wählen | gesucht A′B′, eine Parallelstrecke | Parallelstrecken kommen nur im 2. Strahlensatz vor |
| 2 · Strecke ab Z bilden | ZA′ = ZA + AA′ = 4 + 2 = 6 cm | der 2. Strahlensatz braucht die ganze Strecke von Z aus |
| 3 · Verhältnis aufstellen | A′B′ : 3 = 6 : 4 | Groß zu Klein auf beiden Seiten, in derselben Reihenfolge |
| 4 · Auflösen | A′B′ = 3 · 6/4 = 4,5 cm | mit 3 multiplizieren isoliert A′B′ |
Der typische Fehler
Im 2. Strahlensatz mit der Teilstrecke AA′ rechnen. A′B′ = 3 · 2/4 = 1,5 cm. Das liegt nahe, weil der 1. Strahlensatz AA′ : ZA ausdrücklich erlaubt. Für die Parallelstrecken gilt das nicht: A′B′ ist so viel länger als AB, wie ZA′ länger ist als ZA. 1,5 cm ist sogar kürzer als AB, obwohl A′B′ weiter von Z entfernt liegt.
So prüfst du dein Ergebnis
Streckfaktor vergleichen. ZA′ : ZA = 6 : 4 = 1,5. Dann muss auch A′B′ : AB = 1,5 sein: 4,5 : 3 = 1,5. Passt. Und die weiter von Z entfernte Parallelstrecke muss länger sein als die nähere.