ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Sinus- & Kosinussatz
Mathematik · Klasse 10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Raum und Form – Beziehungen zwischen geometrischen Objekten · Jg. 9/10
Zwei Sätze für Dreiecke ohne rechten Winkel. Welcher passt, hängt nur davon ab, welche Stücke gegeben sind.
Worum es geht
Im Dreieck ABC liegt die Seite a dem Winkel α gegenüber, b dem Winkel β, c dem Winkel γ. Der Sinussatz braucht ein solches Gegenüber-Paar, das man vollständig kennt. Der Kosinussatz braucht zwei Seiten und den Winkel dazwischen oder alle drei Seiten.
Die Regeln
| Satz | Formel | Gegeben |
|---|---|---|
| Sinussatz | a / sin α = b / sin β = c / sin γ | eine Seite und ihr Gegenwinkel, dazu ein weiteres Stück |
| Kosinussatz, Seite | a² = b² + c² − 2bc · cos α | zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel |
| Kosinussatz, Winkel | cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) | drei Seiten |
| Flächeninhalt | A = ½ · a · b · sin γ | zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel |
| zwei Lösungen | sin β = sin(180° − β) | gesuchter Winkel liegt der längeren Seite gegenüber |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: b = 7 cm, c = 5 cm, α = 60°. Berechne a und β.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Satz wählen | zwei Seiten, eingeschlossener Winkel | kein Gegenüber-Paar bekannt, also Kosinussatz |
| 2 · a² | a² = 49 + 25 − 2 · 7 · 5 · cos 60° = 74 − 35 = 39 | cos 60° = 0,5 |
| 3 · a | a = √39 ≈ 6,24 cm | erst am Ende runden |
| 4 · β | cos β = (39 + 25 − 49) / (2 · √39 · 5) ≈ 0,2402 | mit drei Seiten ist der Kosinussatz eindeutig |
| 5 · Winkel | β ≈ 76,1°, γ ≈ 180° − 60° − 76,1° = 43,9° | Winkelsumme 180° |
Der typische Fehler
Beim Sinussatz nur den Winkel vom Taschenrechner nehmen. sin⁻¹ liefert immer einen Winkel unter 90°, und der sieht wie die Lösung aus. Aber auch 180° − β hat denselben Sinus. Liegt der gesuchte Winkel der kürzeren der beiden Seiten gegenüber, ist er sicher spitz. Liegt er der längeren gegenüber, gibt es oft zwei Dreiecke, und beide Werte müssen geprüft werden.
So prüfst du dein Ergebnis
Die drei Quotienten vergleichen. a / sin α ≈ 6,245 / 0,866 ≈ 7,21, b / sin β ≈ 7 / 0,971 ≈ 7,21, c / sin γ ≈ 5 / 0,693 ≈ 7,21. Alle gleich. Außerdem liegt die längste Seite (b = 7) dem größten Winkel (β ≈ 76,1°) gegenüber.