ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Rechengesetze
Mathematik · Klasse 5–6 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 5/6
Drei Gesetze, mit denen man Rechnungen so umbaut, dass sie im Kopf gehen.
Worum es geht
Rechengesetze sagen, wie man eine Rechnung umstellen darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Man braucht sie zum geschickten Rechnen: Zuerst fasst man die Zahlen zusammen, die glatte Ergebnisse geben, zum Beispiel 25 und 4 oder 37 und 63. Die Gesetze gelten für Plus und Mal, nicht für Minus und Geteilt.
Die Regeln
| Gesetz | Was man darf | Beispiel |
|---|---|---|
| Kommutativgesetz (Vertauschen) | bei + und · die Zahlen vertauschen | 25 · 7 · 4 = 25 · 4 · 7 = 700 |
| Assoziativgesetz (Verbinden) | bei nur + oder nur · die Klammern anders setzen | (18 + 37) + 63 = 18 + (37 + 63) = 118 |
| Distributivgesetz (Verteilen) | die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer malnehmen, oder umgekehrt ausklammern | 7 · (100 + 3) = 700 + 21 = 721; 6 · 47 + 6 · 53 = 6 · 100 = 600 |
| Achtung | bei − und : darf man nicht vertauschen | 10 − 4 = 6, aber 4 − 10 ergibt nicht 6; 12 : 4 = 3, aber 4 : 12 ergibt nicht 3 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Rechne geschickt: 23 · 98
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Zerlegen | 98 = 100 − 2 | mit 100 rechnet man im Kopf leicht |
| 2 · Verteilen | 23 · (100 − 2) = 23 · 100 − 23 · 2 | beide Teile der Klammer werden mit 23 malgenommen, nicht nur der erste |
| 3 · Einzeln rechnen | 2 300 − 46 | zwei leichte Rechnungen statt einer schweren |
| 4 · Ergebnis | 2 254 | erst jetzt wird subtrahiert |
Der typische Fehler
23 · (100 − 2) = 2 300 − 2 = 2 298 — nur die 100 wird mit 23 malgenommen. Das fühlt sich richtig an, weil 23 · 100 der große, auffällige Teil ist und die 2 so klein wirkt. Aber 23 · 98 heißt: 23 Kisten mit je 98 Äpfeln. Jeder Kiste fehlen 2 Äpfel zu 100, zusammen fehlen also 23 · 2 = 46 Äpfel, nicht 2.
So prüfst du dein Ergebnis
Auf einem zweiten Weg rechnen. Zerlege diesmal die andere Zahl: 23 · 98 = 20 · 98 + 3 · 98 = 1 960 + 294 = 2 254. Beide Wege geben dasselbe, also stimmt es. Kommt etwas anderes heraus, hat einer der Wege einen Teil der Klammer vergessen.