ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Quadratische Gleichungen
Mathematik · Klasse 9–10 · 6 Blätter · 69 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10
Normalform, p-q-Formel und Diskriminante — und eine Probe, die ohne Einsetzen auskommt.
Worum es geht
Eine quadratische Gleichung enthält x², zum Beispiel x² − 2x − 15 = 0. Sie hat zwei, eine oder keine Lösung. Die p-q-Formel löst jede Gleichung der Normalform x² + px + q = 0, also mit der Zahl 1 vor x². Steht dort eine andere Zahl, teilt man zuerst die ganze Gleichung durch sie. Fehlt das x-Glied, reicht Wurzelziehen.
Die Regeln
| Fall | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Normalform herstellen | alles auf eine Seite, dann durch die Zahl vor x² teilen | 2x² − 4x − 30 = 0 | :2 → x² − 2x − 15 = 0 |
| p-q-Formel | x = −p/2 ± √((p/2)² − q) | p = −2, q = −15 → x = 1 ± 4 |
| Diskriminante D = (p/2)² − q | D > 0: zwei Lösungen · D = 0: eine · D < 0: keine | D = 1 + 15 = 16 > 0 |
| Ohne x-Glied | x² = c → x = ±√c | x² − 49 = 0 → x = ±7 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: 2x² − 4x − 30 = 0
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Normalform | x² − 2x − 15 = 0 | die Formel gilt nur mit 1 vor x²; durch 2 teilen ändert die Lösungen nicht |
| 2 · p und q ablesen | p = −2 · q = −15 | die Vorzeichen gehören dazu — sie stehen vor den Zahlen |
| 3 · Diskriminante | (−1)² − (−15) = 1 + 15 = 16 | erst unter der Wurzel rechnen, dann weiß man, ob es Lösungen gibt |
| 4 · Einsetzen | x = 1 ± √16 = 1 ± 4 | −p/2 = −(−2)/2 = 1 |
| 5 · Lösungen | x₁ = −3 · x₂ = 5 | einmal minus, einmal plus |
Der typische Fehler
q ohne sein Vorzeichen eingesetzt: (p/2)² − q = 1 − 15 = −14, also „keine Lösung“. Das fühlt sich richtig an, weil in der Formel schon ein Minus vor q steht und man die 15 einfach abschreibt. q ist hier aber −15, und 1 − (−15) = 16. Schreibe q immer mit Klammer in die Formel: − (−15).
So prüfst du dein Ergebnis
Satz von Vieta. Für die Lösungen von x² + px + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Hier: −3 + 5 = 2 = −p und (−3) · 5 = −15 = q. Beides stimmt. Wer lieber einsetzt: 2 · 25 − 20 − 30 = 0 und 2 · 9 + 12 − 30 = 0.